Если изучить фрактальную геометрию природы, то наблюдая природные явления человек перестанет видеть хаос. Он увидит, насколько просты принципы развития и распределения в природе. Папоротник — один из основных примеров фракталов в природе. неупо-рядоченные системы, для которых самоподобие выполняется только в среднем. На рубеже 19-20 веков изучение природы фракталов носило эпизодический характер. Парк онлайн весной 2021. Фракталы в природе. Автор Мануйленко Никита.
Молния фрактал
Фракталы в природе (53 фото). Фракталы в природе. Понятие ФРАКТАЛЫ (fractus -состоящий из фрагментов) введено в научный обиход Бенуа Мандельбротом. В ней он впервые заговорил о фрактальной природе нашего многомерного мира. Фракталы — еще одна интересная математическая форма, которую каждый видели в природе. Давай лучше рассмотрим дизайн фракталов в природе и науке, чтобы вернуть себе веру в волшебство.
Фракталы в природе и в дизайне: сакральная геометрия повсюду
Фракталы — еще одна интересная математическая форма, которую каждый видели в природе. фрактальной размерностью, характеризующей скорость увеличения элементов фрактала с увеличением интервала масштабов. Деревья, как и многие другие объекты в природе, имеют фрактальное строение. Роль её печени играют камни и песок, через который фильтруются макро загрязнения, и круговорот воды в природе, который отделяет молекулы воды от микро мусора.
Фракталы в природе: красота бесконечности вокруг нас
Одна из причин заключается в том, что она неспособна достаточно точно описать форму облака, горы, дерева или берега моря. Облака — это не сферы, линии берега — это не окружности, и кора не является гладкой, а молния не распространяется по прямой. Природа демонстрирует нам не просто более высокую степень, а совсем другой уровень сложности. Число различных масштабов длин в структурах всегда бесконечно. Существование этих структур бросает нам вызов в виде трудной задачи изучения тех форм, которые Евклид отбросил как бесформенные — задачи исследования морфологии аморфного.
Математики, однако, пренебрегли этим вызовом и предпочли все больше и больше отдаляться от природы, изобретая теории, которые не соответствуют ничему из того, что можно увидеть или почувствовать". Все, что существует в реальном мире, является фракталом — это и есть наша гипотеза, а цель данной работы показать, что математика не бездушный предмет, она может выражать духовный мир человека в отдельности и в обществе в целом. Объектом исследования выступают фракталы в математике и в реальном мире. В процессе работы нами были выделены следующие задачи исследования: Проанализировать и проработать литературу по теме исследования.
Рассмотреть и изучить различные виды фракталов. Дать представление о фракталах, встречающихся в нашей жизни. Актуальность заявленной темы определяется, в первую очередь, предметом исследования, в качестве которого выступает фрактальная геометрия. Структура исследовательской работы определялась логикой исследования и поставленными задачами.
Она включает в себя введение, две главы, заключение, список использованной литературы, приложения. История появления понятия «фрактал» Первые идеи фрактальной геометрии возникли в 19 веке. Георг Кантор Cantor, 1845-1918 - немецкий математик, логик, теолог, создатель теории бесконечных множеств, с помощью простой рекурсивной повторяющейся процедуры превратил линию в набор несвязанных точек. Он брал линию и удалял центральную треть и после этого повторял то же самое с оставшимися отрезками.
Получалась, так называемая, Пыль Кантора приложения 1, 2. Джузеппе Пеано Giuseppe Peano; 1858-1932 — итальянский математик изобразил особую линию. Он брал прямую и заменял ее на 9 отрезков длинной в 3 раза меньшей, чем длина исходной линии. Далее он делал то же самое с каждым отрезком.
И так до бесконечности. Уникальность такой линии в том, что она заполняет всю плоскость. Позднее аналогичное построение было осуществлено в трехмерном пространстве приложения 3, 4.
Это физиологическое изменение даже ускоряет восстановление после операции. Художники интуитивно понимают привлекательность фракталов Поэтому неудивительно, что художники-визуалисты на протяжении веков и во многих культурах встраивали фрактальные узоры в свои работы. Фракталы можно найти, например, в римских, египетских, ацтекских, инкских и майяских работах.
Мои любимые примеры фрактального искусства из более поздних времен включают Турбулентность да Винчи 1500 , Великую волну Хокусая 1830 , серию кругов М. Эшера 1950-е и, конечно же, разлитые картины Поллока. Хотя фрактальное повторение узоров преобладает в искусстве, оно представляет художественную проблему. Например, многие люди пытались подделать фракталы Поллока и потерпели неудачу. Действительно, наш фрактальный анализ помог выявить фальшивых Поллоков в громких случаях. Как художники создают свои фракталы, питает дискуссию «природа против воспитания» в искусстве: в какой степени эстетика определяется автоматическими бессознательными механизмами, присущими биологии художника, в отличие от их интеллектуальных и культурных интересов?
В случае с Поллоком его фрактальная эстетика была результатом интригующей смеси обоих. Его фрактальные паттерны возникли из движений его тела в частности, автоматического процесса, связанного с балансом, известного как фрактал. Но он потратил 10 лет, сознательно совершенствуя свою технику заливки, чтобы увеличить визуальную сложность этих фрактальных паттернов. Тест Роршаха на чернильных пятнах основан на том, что вы прочитали на изображении. Герман Роршах Фрактальная сложность Мотивация Поллока к постоянному увеличению сложности его фрактальных структур стала очевидной недавно, когда я изучил фрактальные свойства чернильных пятен Роршаха. Эти абстрактные пятна известны, потому что люди видят в них воображаемые формы фигуры и животных.
Я объяснил этот процесс с точки зрения эффекта фрактальной беглости, который улучшает процессы распознавания образов людей. Фрактальные чернильные шарики низкой сложности сделали этот процесс счастливым, заставляя наблюдателей видеть изображения, которых там нет.
Фракталы находят все большее и большее применение в науке и технике. Основная причина этого заключается в том, что они описывают реальный мир иногда даже лучше, чем традиционная физика или математика. Можно до бесконечности приводить примеры фрактальных объектов в природе, — это и облака, и хлопья снега, и горы, и вспышка молнии, и наконец, цветная капуста. Фрактал как природный объект — это вечное непрерывное движение, новое становление и развитие.
Это свойство объектов американский правда, выросший во Франции математик Бенуа Мандельброт назвал фрактальностью, а сами такие объекты — фракталами от латинского fractus — изломанный. С береговой линией, а точнее, с попыткой измерить ее длину, связана одна интересная история, которая легла в основу научной статьи Мандельброта, а также описана в его книге «Фрактальная геометрия природы». Речь идет об эксперименте, который поставил Льюис Ричардсон Lewis Fry Richardson — весьма талантливый и эксцентричный математик, физик и метеоролог. Одним из направлений его исследований была попытка найти математическое описание причин и вероятности возникновения вооруженного конфликта между двумя странами. В числе параметров, которые он учитывал, была протяженность общей границы двух враждующих стран.
Когда он собирал данные для численных экспериментов, то обнаружил, что в разных источниках данные об общей границе Испании и Португалии сильно отличаются. Это натолкнуло его на следующее открытие: длина границ страны зависит от линейки, которой мы их измеряем.
Созерцание великого фрактального подобия
Эта революция в наших представлениях о Вселенной по масштабам никак не меньше, чем изменение модели аристотелевой конечной Вселенной на бесконечную Вселенную Бруно-Ньютона. Эта новейшая революция в космологии еще не завершена, а горизонты Новой Бесконечной Вселенной теряются в загадочной дымке. Нам трудно представить вселенные с другими фундаментальными законами физики, с другой топологией, с другим тем более нецелым числом измерений пространства и тем более времени! Но «Вселенная в целом вовсе не обязана обладать теми же свойствами, что и видимая нами ее часть» Р. Это и чреватая новыми революционными неожиданностями бурная история «всем известных», но, похоже, так никем пока толком не понятых «черных дыр». Это и проблема, от характера будущего решения которой зависит ответ на вопрос: что — или кто! А ведь наука физика до сих пор еще так и не разобралась даже с такими старыми от того века , мрачными, но по сути простыми проблемами, как возможность или невозможность так называемой тепловой смерти Вселенной. За всеми прошлыми и настоящими революционными переворотами в научной картине мира, за подчас вековыми мучительными и туманными проблемами, а отчасти — и сияющими перспективами, остается недооцененным еще одно весьма достойное внимания кардинальное преобразование в астрономической картине мира.
Речь идет о развертывающемся в последние пару десятков лет совершенно новом и весьма неожиданном аспекте Мира. Вселенная оказалась насквозь «нецеломерной», фрактальной, она повсюду состоит из фрактальных систем, в ней протекают процессы иерархически структурированные, с «самоподобием» на всех этажах своего устройства. Для нас — это откровение не меньшего масштаба, чем открытие чрезвычайной нестационарности Вселенной на самых различных ее уровнях 2 — от мира планеты Земля до комет и астероидов, от рождающихся и взрывающихся звезд и бурно эволюционирующих звездных комплексов объединений молодых звезд — до квазаров, сияющих подобно сотне галактик, и до всей нашей Вселенной, в немыслимом темпе раздувающейся до «почти бесконечных» размеров. Дело в том, что именно в последние полтора-два десятка лет мы с удивлением осознали, что живем в Мире, где нас со всех сторон окружают объекты и системы дробной размерности [ 2 ]. Это крайне непривычно. И в жизни, и в науке мы до сих пор встречали, как нам казалось, лишь объекты очень небольшого набора целочисленной, притом невысокой, размерности: точки размерность 0 ,"линии 1 , поверхности 2 , тела 3. Минимальное количественное расширение этого набора в физике произошло хотя и давно, но все же уже в этом веке, когда Г.
Минковский в 1908 г. Позже, в 20-х гг. Калуца, О. Клейн, Ю. Румер и др. В развитие этой линии уже относительно недавно в теории возникли 10- и 11-мерные физические пространства, а затем дело дошло и до варианта 506 измерений! Впрочем, в подчеркиваемом формально-математическом смысле, физики уже во второй половине прошлого века, во времена Больцмана и Гиббса, оперировали с фазовыми математическими пространствами размерности порядка 1023 число Авогадро.
Математики же, люди перед Природой куда менее ответственные, чем физики или астрономы, гораздо раньше тех же физиков обжились в многомерных пространствах, а с легкой руки великого математика Давида Гильберта, — и в «бесконечномерных». Однако, в смысле целочисленности и дискретности, сколь угодно большое натуральное число N тождественно 1 или даже 0. И вот мы узнаем, что живем во Вселенной, на каждом шагу, на всех уровнях масштабов заполненной объектами, структурами, системами дробной размерности! Перечислим хотя бы некоторые направления «фрактальных прорывов» в современной науке. Модель динамического хаоса тоже, кстати, фрагмент новой грани научной картины мира и турбулентность в воде, атмосфере и в Космосе 4 ; модели эрозии почвы и сейсмических явлений, организация полимеров и коллоидов, фликкер-шум и химические реакции, флуктуации температуры и плотности, морфология планет и спутников, облаков и горных хребтов; «блуждание пьяницы» и вероятность выживания, модель Изинга в теории кристаллов и «странный аттрактор»; солнечные пятна и «скрытая» масса галактик; структура речных систем и береговая линия моря; электропробой диэлектриков и растрескивание при разрушении; «дьявольская лестница» и теория конечных автоматов; фрагментация протогалактической среды и пыль у звезд типа R Северной Короны; множественное рождение частиц и совокупность ресничек на стенках кишечника; кластеризация во Вселенной и динамика экситонов; переменные звезды и структура рентгеновского источника Геркулес Х-1... Автор сам не очень понимает некоторые из этих терминов — так широка проблема. Фрактальный рост.
Отложение цинка при электролизе Рис. Фрактальная структура Фигура Лихтенберга при электрическом разряде Как видим, действительно «природа очень любит фрактальные формы» [ 3 ]. Мандельброт [ 4 ]. Но чтобы увидеть это, должен был найтись такой Мандельброт или другой «мальчик», заметивший, что король-то голый! А до этого мы — вслед за нашими интеллектуальными и научными лидерами — столетиями в упор не видели самого очевидного. Когда же, вслед за «пионером», прозревают остальные, картина мира резко изменяется, перестраивается, и ранее невозможное оказывается очевидным. Эсхер Эшер.
На математическом языке ее так называемая размерность Хаусдорфа—Безиковича тогда больше привычной топологической. Заметим, кстати, что размерность линии, превосходящая 1, при этом не обязательно будет дробной размерность плоской броуновской траектории равна 2. Видимо, мыслима и размерность линии в трехмерном объеме, превосходящая двойку. Вообще же разнообразие здесь велико, и в ряде случаев размерность «предельного объекта» может быть оценена лишь приближенно численно как итог компьютерного моделирования предельного процесса. В некоторых же объектах она элегантно выражается аналитически. Так, размерность Хаусдорфа—Безиковича знаменитого канторова множества «остаток» от процедуры: из отрезка вырезаем среднюю треть, из оставшихся двух отрезков — тоже, и т. Математический смысл фрактальности довольно абстрактен, и здесь, пожалуй, не стоит пытаться определить фрактал во всей его математической строгости и сложности.
Однако геометрический смысл фрактальности весьма нагляден и прост. Это, схематизируя, бесконечная — вверх и вниз — пирамида единообразно на один и тот же множитель изменяющихся ступеней. Такая лестница масштабов может быть и не откровенно иерархическо-геометрической, а скрытой во временном поведении системы. Например, совокупность броуновских частиц в каждый момент представляется предельно хаотичной. Но траектория броуновского движения каждой частицы в идеале если не подойти слишком близко к характерной величине размера атомов и расстояний между ними выглядит совершенно одинаково при любом масштабе «увеличении микроскопа». Масштабная инвариантность, или самоподобие, фрактальной структуры является ее характернейшим свойством. Она может проявляться бесконечно разнообразно.
Любопытно, что именно через это свойство фракталы не называя их так, естественно , значительно раньше их первооткрывателя Мандельброта увидел талантливый голландский художник с острым взглядом — М. Эсхер 1902—1972 иногда, в более ранней и менее точной транскрипции — Эшер. Физический смысл объекта-фрактала также довольно нагляден. Это структура пространственно-иерархического типа, со все меньшим при удалении от некоторого центра , но убывающим строго закономерно, единообразно, заполнением объема 6. Выразительный пример — крона «зимнего дерева», без листьев. На эволюционно-биологическом уровне аналог — эволюционное древо жизни Земли, а в еще более общем плане — Мировое Древо ряда религиозных космологии. Открытие фракталов Смотрите, как повсюду окружают нас непонятные факты, как лезут в глаза, кричат в уши, но мы не видим и не слышим, какие большие открытия таятся в их смутных очертаниях.
Ефремов Осознание фрактальности мира, как почти все крупнейшие обобщения в науке, началось с весьма частного вопроса — с мысленного опыта американского математика Бенуа Мандельброта: длина участка береговой линии между двумя городами оказалась зависящей от того, как ее измерять, то есть от «длины линейки». Можно сказать, что это заранее очевидно и тривиально. Но те, кто так рассуждали и на этом останавливались в бесконечном множестве «аналогичных случаев» до Мандельброта, и не заметили, не открыли фрактальность Вселенной! Мандельброт, между тем, вышел за рамки старой научной картины мира, в которой не было места для фракталов.
Это фермент, используемый видами цианобактерий для производства цитрата, который, как было обнаружено, естественным образом собирается в определенный фрактальный узор, называемый треугольником Серпинского. Развитие фрактальной модели треугольника Серпинского. Имея в руках структуру, стало ясно, как именно этому белку удается собраться во фрактал: обычно при самосборке белков структура очень симметрична: каждая отдельная белковая цепь принимает такое же расположение относительно своих соседей. Такие симметричные взаимодействия всегда приводят к появлению паттернов, которые становятся одинаковыми в больших масштабах. Ключом к пониманию фрактального белка было то, что его сборка нарушала это правило симметрии. Различные белковые цепи осуществляют несколько разные взаимодействия в разных положениях фрактала.
Это послужило основой для формирования треугольника Серпинского с его большими внутренними пустотами, а не регулярной решетки молекул.
Имеющиеся последующие оценки пока не позволяют количественно указать размерность пространства стохастически раздувающейся Вселенной. Процесс этот «стабильно неустойчив». Размерность такой модели Вселенной может оказаться и не обязательно дробной подобно тому, как целочисленной, но более высокой, чем у обычной линии, оказывается размерность броуновской траектории — см. Через несколько лет после пионерской работы Линде фрактальность в космологии — нецелочисленность с изменением — от нормальной тройки в лаборатории до двойки на космологическом горизонте заподозрила А.
Попова ГАИШ в цикле работ 90-х гг. Собственный оригинальный подход к этой проблеме развивает известный специалист по общей теории относительности ОТО и релятивистской космологии Р. Правда, еще несколькими годами ранее группа итальянских астрофизиков А. Грасси и др. По существу, проблема фрактальной размерности пространства Метагалактики лишь начинает входить в науку, и различные исследователи только еще нащупывают варианты существующих здесь возможностей.
Какой же окажется размерность нашей локальной и, далее, «Большой Вселенной» в конце концов? Или 50610? Вопрос пока, насколько мне известно, открыт. Тем более, остается неясной проблема смысла и физической реализации во Вселенной комплексной в частном случае — чисто мнимой размерности пространства. И, пожалуй, совершенно не в наших силах представить себе, что могла бы значить дробная размерность да еще комплексная космологического времени!
Впрочем, вспомним слова Л. Ландау о том, что мы, если надо, можем понять даже то, что не можем представить! Генрих Герц В математическом плане фрактальный подход отождествляется пока что почти исключительно с фрактальной геометрией. Это было заложено еще в основополагающих трудах Мандельброта, и ситуация не изменилась за два десятилетия интенсивного развития концепции фракталов. Геометрические изображения фракталов к тому же иногда весьма впечатляющи, а подчас и потрясающе красивы, бесконечно разнообразны и чрезвычайно эвристичны [ 7 ].
Кстати, эта красота — один из эмпирически и эвристически надежных критериев фундаментальности фракталов как объектов Природы, Космоса [ 8 ]. Компьютеры же, способные наглядно демонстрировать фрактальные геометрические объекты, открывают исследователям пока практически единственный путь в мир фракталов [ 4 ], [ 9 ] 10. Вспомним здесь упомянутые выше яркие провидения художника Эсхера, первым увидевшего фрактальный мир. Однако, сколь ни впечатляющи успехи компьютерной математики, обобщающая мощь аналитического подхода в самой математике, в физике, астрономии и в других науках не должна недооцениваться. Бесконечный спектр качественных возможностей, заложенный в единой аналитической формуле, алгоритме, — законе, в конце концов!
Да и саму формулу «закона природы» компьютеры открывать не умеют. Наиболее перспективно сочетание этих двух математических подходов. Фракталы, по общему признанию специалистов, — пока самый результативный если не единственно эффективный, а то и единственно возможный путь к проникновению в «законы хаоса»! Сам Мандельброт подчеркивал, что здесь речь идет именно об «изучении порядка в хаосе». В частности, фрактальными оказываются фундаментальные свойства выходящих ныне на первый план как в математике, так и в физике «странных аттракторов» 11.
Топология их, похоже, из всех современных методов математики под силу лишь фрактальному подходу. Между тем, нередки утверждения, что до сих пор эта область математики не имеет адекватного аппарата в традиционной математике. Такая позиция отражает то, что «фрактальная геометрия» и компьютерные исследования фракталов недостаточны на новом пути познания Мира. Правомерен вопрос: а не может ли быть создан соответствующий математический аналитический аппарат, по мощи и общности аналогичный дифференциальному и интегральному исчислениям, который «обслуживал» бы фрактальный аспект исследования Вселенной средствами не геометрии, а математического анализа? Когда меня очень давно осенила эта идея, «...
Говоря откровенно, я задаю сей вопрос чисто риторически и даже в расчете на весьма вероятную недостаточную здесь информированность большинства читателей. Все дело в том, что такой аппарат уже давно существует, но незаслуженно мало известен. Основы его созданы точнее, завершены почти полтораста лет назад! Вспомним аполлониеву теорию конических сечений, две тысячи лет ждавшую Кеплера; тензорное исчисление Риччи и «воображаемую геометрию» Лобачевского — «заготовки» для будущей ОТО. Мы говорим об исчислении, обобщающем подобно дробным степеням в биноме Ньютона операции дифференцирования и интегрирования на дробные включая комплексные порядки производной и, соответственно, кратности интеграла.
Масштаб этого обобщения грандиозен, даже в чисто количественном плане: от математического аппарата дифференциального и интегрального исчисления, пригодного построенного для счетного множества значений «аргумента», т. Поставлена задача столь широкого обобщения была еще 300 лет назад самим Лейбницем. Однако достаточно полное решение, в главных чертах, было найдено лишь во второй половине XIX в. Первый вариант указан в 1858 г. Летниковым в России и пражским математиком Л.
К сожалению, обобщение это осталось мало известным. Во всяком случае, от студентов его почему-то тщательно «хранили в секрете» в течение многих десятилетий! Непонятное пренебрежение вопросом, которым интересовались названные выше корифеи математики и который неизбежно должен был возникать хотя бы у пытливых но не слишком эрудированных студентов, привело к тому, что стали неизбежными попытки «изобретений велосипеда». Мне, например, известны целых три такие «изобретения» в России за полтора десятка лет в середине XX в. Главная причина более чем вековой невостребованности данного обобщения обычна и естественна: отсутствие в природе, как казалось, объектов, систем, процессов, которые требовали бы для своего понимания и описания операции дифференцирования интегрирования произвольного нецелого порядка кратности , например: f n х , где n — произвольно.
Стоит отметить и еще один момент. С эпохи Лейбница и до наших дней для указанного обобщения аппарата математического анализа не было предложено ни удачной символики, ни яркого и компактного термина. В наше время, после открытия фрактальности Вселенной, для соответствующего математического аппарата прямо-таки напрашивается и представляется неизбежным термин «фрактальное исчисление». Он лаконичен, емок, логичен, историчен и физичен. Мне кажется разумным остановиться именно на нем для наименования обобщения дифференциального и интегрального исчисления на дробные включая комплексные порядки производной и кратности интеграла.
В отличие от уже традиционного физического термина «фрактал», соответствующий математический оператор мог бы именоваться, скажем, «фракталл». Для обозначения же фракталла порядка n от функции f z , я рискнул предложить в [ 12 ] новый символ, сочетающий стилизованные элементы знаков и интеграла, и дифференциала: Можно предвидеть, что после осознания фрактальности Вселенной и следующей отсюда вариации картины мира, с выходом «фрактального исчисления» из незаслуженного полузабвения — актуальным окажется и требуемое обобщение дифференциальных и интегральных уравнений 13. Могут быть введены не только «фрактальные уравнения», отличающиеся от дифференциальных и интегральных «лишь» дробностью порядка. Прецеденты этого уже имеются Висе, 1986; Метцлер и др. Фрактальные уравнения могут включать и такие, где, скажем, неизвестной искомой функцией является сам переменный порядок этого уравнения.
Предлагаются и такие обобщения, как введение зависимости п от координат и др. Видимо, концепция фракталов может быть связана с выдвинутой в начале 60-х гг.
Это приводит к формированию симметричных, упорядоченных структур. Но в случае с цитратсинтазой все иначе.
Различные белковые цепи взаимодействуют друг с другом по-разному, создавая сложный и непредсказуемый узор, подобный треугольнику Серпинского. Эволюционная игра Зачем же цианобактерии понадобился фрактальный фермент? Удивительно, но, похоже, это всего лишь игра случая, эволюционный каприз. Ученые провели эксперимент, в котором генетически модифицировали цианобактерии, лишив их цитратсинтазу способности собираться во фрактальные структуры.
Оказалось, что это никак не повлияло на жизнедеятельность бактерий. Чтобы разобраться в этой загадке, исследователи заглянули в прошлое. Используя специальные методы, они реконструировали эволюционную историю цитратсинтазы и обнаружили, что фрактальная структура возникла внезапно, в результате нескольких случайных мутаций. В других линиях цианобактерий эта особенность быстро исчезла, но у одного вида она сохранилась до наших дней.
Новый взгляд на эволюцию Открытие молекулярного фрактала заставляет нас переосмыслить роль случая в эволюции. Оказывается, даже такие сложные и изысканные структуры могут возникать без какой-либо видимой цели, просто как результат случайных событий.
Загадочный беспорядок: история фракталов и области их применения
Природа создаёт удивительные и прекрасные фракталы, с безупречной геометрией и идеальной гармонией. Чтобы доказать свое утверждение, он вводит ключевое для теории фракталов понятие фрактальной размерности. Красота фракталов состоит в том, что их "бесконечная" сложность сформирована относительно простыми линиями. Анимация фракталов, изменение фракталов в пространстве, медитация, фрактальная графика.
Фракталы: что это такое и какие они бывают
Несмотря на то, что фрактальные фигуры были замечены в природе и сконструированы математиками уже довольно давно, впервые научно обосновать существование фракталов смог Бенуа Мандельброт лишь в 1970-х годах. Примеры фракталов в природе встречаются повсеместно: от ракушек до сосновых шишек. Смотрите 66 фотографии онлайн по теме фракталы в природе. Природа зачастую создаёт удивительные и прекрасные фракталы, с идеальной геометрией и такой гармонией, что можно замереть от восхищения.