Деревья, как и многие другие объекты в природе, имеют фрактальное строение. Чтобы доказать свое утверждение, он вводит ключевое для теории фракталов понятие фрактальной размерности. Посмотрите больше идей на темы «фракталы, природа, закономерности в природе». По определению Википедии фрактал — это бесконечно самоподобная геометрическая фигура, каждый фрагмент которой повторяется при уменьшении масштаба.
Фракталы в природе (102 фото)
Фракталы представляют собой довольно сложные для определения математические объекты, но в общих чертах их можно охарактеризовать как геометрические формы, состоящие из меньших структур, которые, в свою очередь, напоминают исходную целостную конфигурацию. Если изучить фрактальную геометрию природы, то наблюдая природные явления человек перестанет видеть хаос. Он увидит, насколько просты принципы развития и распределения в природе. Смотрите 66 фотографии онлайн по теме фракталы в природе. Несмотря на то, что фрактальные фигуры были замечены в природе и сконструированы математиками уже довольно давно, впервые научно обосновать существование фракталов смог Бенуа Мандельброт лишь в 1970-х годах. В данном разделе вы найдете много статей и новостей по теме «фрактал». Все статьи перед публикацией проверяются, а новости публикуются только на основе статей из рецензируемых журналов.
Фракталы — дизайн космической фигуры
- Фракталы в природе - презентация онлайн
- Уникальная сборка
- Художники интуитивно понимают привлекательность фракталов
- ГЕОМЕТРИЯ ПРИРОДЫ. ФРАКТАЛЫ. | вячеслав васильков | Фотографии и советы на Постиле
- Впервые в природе обнаружена микроскопическая фрактальная структура |
Откройте свой Мир!
| Что такое фрактал? | Приводим примеры фракталов в природе, жизни, математике, алгебре, геометрии и не только. |
| ХАОС, ФРАКТАЛЫ И ИНФОРМАЦИЯ | Это значит, что плоский фрактал в некотором смысле «проще» настоящей плоскости, но «сложнее» прямой. Фракталы также встречаются в природе. |
| Фрактал. 5 вопросов | Фото подборка встречающихся в природе или искусственно созданных фракталов. |
| Фракталы в природе - 65 фото | 97 фото | Фото и картинки - сборники. |
Открытие первой фрактальной молекулы в природе — математическое чудо
К сожалению, качество демонстрационного видео крайне плохое из-за давности лет , но демо можно скачать и запустить на компьютере. Для создания подобных или других фрактальных миров особых ухищрений не требуется. Есть несколько отличных программ, с помощью которых вы сможете самостоятельно изучать особенности фрактальной вселенной. XaoS Open Source Project. Бесплатный, открытый, кроссплатформенный инструмент для масштабирования и изучения множества Мандельброта и десятков других фракталов. Еще одна кроссплатформенная в том числе с мобильной версией программа, основанная на Java с открытым исходным кодом, для обработки изображений. Она известна в основном своим сложным генератором пламенных фракталов.
Для ученых это, конечно, больше, чем просто красивая картинка, но сейчас не об этом. Фрактал — геометрическая фигура, обладающая свойством самоподобия, то есть составленная из нескольких частей, каждая из которых подобна всей фигуре целиком.
Представленные данные представляют собой выводимый Rg значения с использованием аппроксимации Гинье, а столбцы ошибок соответствуют s. Автор: Sendker, F. Emergence of fractal geometries in the evolution of a metabolic enzyme. Nature 2024. Ученые, изучая структуру цитратсинтазы, были поражены изображениями, полученными с помощью электронного микроскопа. Вместо ожидаемой регулярной решетки молекул они увидели завораживающий фрактальный узор. Секрет асимметрии Разгадка тайны фрактального белка кроется в его асимметрии.
Обычно при самоорганизации белковых молекул каждая цепь занимает одинаковое положение относительно своих соседей. Это приводит к формированию симметричных, упорядоченных структур. Но в случае с цитратсинтазой все иначе. Различные белковые цепи взаимодействуют друг с другом по-разному, создавая сложный и непредсказуемый узор, подобный треугольнику Серпинского. Эволюционная игра Зачем же цианобактерии понадобился фрактальный фермент?
Слева изображены исходные кривые, а справа — получившаяся из этих кривых снежинка. Нетрудно заметить, что в снежинки идеально вписывается как равносторонний треугольник, так и сама кривая: Изображение: Лев Сергеев для Skillbox Media На какой бы итерации мы ни увеличили масштаб изображения, мы всегда сможем увидеть знакомый паттерн, как и с множеством Кантора. Посчитать периметр такой снежинки невозможно, потому что она может разрастаться всё дальше и дальше… Это ещё одно свойство фракталов — бесконечность. Ковёр, треугольник и кривая Серпинского Изображение: Лев Сергеев для Skillbox Media Польский математик Вацлав Серпинский брал за основу фрактала не только кривую, но и квадрат с треугольником. Для начала рассмотрим, как «размножается» кривая Серпинского. При каждой итерации количество её копий увеличивается в четыре раза, а рисунок становится сложнее: Изображение: Лев Сергеев для Skillbox Media Треугольник же на каждом шаге дробится на три равные части: Изображение: Лев Сергеев для Skillbox Media Квадрат, или ковёр, Серпинского получается так же, как и треугольник, но исходная фигура делится на восемь квадратов. Ковёр Серпинского в трёхмерном пространстве превратится в кубический многогранник. По такому же принципу можно смоделировать и трёхмерный треугольник Серпинского. В её основе лежит знаменитая теорема Пифагора, согласно которой сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. Полученный геометрический фрактал напоминает дерево, поэтому его и назвали деревом Пифагора. Изображение: Лев Сергеев для Skillbox Media Знакомым с алгоритмами читателям дерево Пифагора может напомнить другое, бинарное дерево. В целом, бинарный поиск напоминает принцип Кантора, где на каждой итерации получается вдвое больше разветвлений отрезков. Всё это — ещё одна иллюстрация самоподобия, о котором мы говорили ранее. Алгебраические фракталы Алгебраические фракталы, в отличие от геометрических, основываются на формуле, а не на фигурах, но также рекурсивно итерируются. Выглядят они ещё более причудливо, чем те, что мы рассмотрели выше. Остановимся на комплексных числах. Вы наверняка знаете, что извлекать квадратный корень из отрицательных чисел нельзя — это следует из того, что любое отрицательное число в квадрате является положительным. Логика железная и справедливая, но лишь для действительных чисел. Вот здесь-то и ломается привычная арифметика. Нас ведь с пятого класса учили, что из отрицательных чисел квадратный корень не извлечь», — скажете вы и будете правы! Да, такая запись на первый взгляд кажется парадоксальной, и многие математики на первых порах с подозрением относились к подобной «магии».
Что такое фрактал, как он проявляется в природе и что еще о нем нужно знать
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF 1. Бертранд Рассел Математика — древнейшая наука. Большинству людей казалось, что геометрия в природе ограничивается такими простыми фигурами, как линия, круг, многоугольник, сфера и т. Как оказалось, многие природные системы настолько сложны, что использование только знакомых объектов обычной геометрии для их моделирования представляется безнадежным. Как, к примеру, построить модель горного хребта или кроны дерева в терминах геометрии? Как описать то многообразие биологических разнообразий, которое мы наблюдаем в мире растений и животных? Как представить всю сложность системы кровообращения, состоящей из множества капилляров и сосудов и доставляющей кровь к каждой клеточке человеческого тела?
Представить строение легких и почек, напоминающие по структуре деревья с ветвистой кроной? Фракталы - подходящие средства для исследования поставленных вопросов. Нередко то, что мы видим в природе, интригует нас бесконечным повторением одного и того же узора, увеличенного или уменьшенного во сколько-то раз. Например, у дерева есть ветви. На этих ветвях есть ветки поменьше и т. Теоретически, элемент «разветвление» повторяется бесконечно много раз, становясь все меньше и меньше.
То же самое можно заметить, разглядывая фотографию горного рельефа. Попробуйте немного приблизить изображение горной гряды - вы снова увидите горы. Так проявляется характерное для фракталов свойство самоподобия. Для многих хаологов ученых изучающих фракталы и хаос - это не просто новая область познания, которая объединяет математику, теоретическую физику, искусство и компьютерные технологии - это революция. Это открытие нового типа геометрии, той геометрии, которая описывает мир вокруг нас и которую можно увидеть не только в учебниках, но и в природе и везде в безграничной вселенной. Слово «фрактал» - это что-то, о чем много людей говорит в наши дни, от ученых до учеников средней школы.
Оно появляется на обложках многих учебников математики, научных журналов и коробках с компьютерным программным обеспечением. Цветные изображения фракталов сегодня можно найти везде: от открыток, футболок до картинок на рабочем столе персонального компьютера. Итак, что это за цветные формы, которые мы видим вокруг? В своей работе я решила «прикоснуться» к миру прекрасного и определила для себя… Цель работы: создание объектов, образы которых весьма похожи на природные. Методы исследования: сравнительный анализ, синтез, моделирование. Задачи: знакомство с понятием, историей возникновения и исследованиями Б.
Мандельброта, Г. Коха, В. Серпинского и др. Основополагающий вопрос работы: показать, что математика не сухой, бездушный предмет, она может выражать духовный мир человека в отдельности и в обществе в целом. Предмет исследования: фрактальная геометрия. Объект исследования: фракталы в математике и в реальном мире.
Гипотеза: все, что существует в реальном мире, является фракталом. Актуальность заявленной темы определяется, в первую очередь, предметом исследования, в качестве которого выступает фрактальная геометрия. Ожидаемые результаты: в ходе работы, я смогу расширить свои знания в области математики, увидеть красоту фрактальной геометрии, начать работу по созданию своих фракталов. Итог работы: создание собственных фракталов вручную и с помощью компьютерных технологий. Одна из причин заключается в её неспособности описать форму облака, горы, дерева или берега моря. Облака - это не сферы, горы - это не конусы, линии берега — это не окружности… Вплоть до XX века шло накопление данных о таких странных объектах, без какой-либо попытки их систематизировать.
Например, фракталами являются ковер Серпинского или губка Менгера. Само слово фрактал Мандельброт придумал на основе латинского fractus, означающего «сломанный» и созвучного английскому fraction — «дробь». Это слово одновременно отображает как необычность, извилистость фракталов, так и их свойства, связанные с их дробной размерностью. Одинокий ученый Развитие теории фракталов тесно связано с ее основателем, Бенуа Мандельбротом — в одиночку он долгое время отстаивал и доказывал свою идею всему научному сообществу. Поэтому история открытия фракталов — в значительной степени биография Бенуа Мандельброта, хотя частные случаи фракталов множества Жюлиа, снежинка Коха и функция Вейерштрасса были известны и раньше.
Но только Мандельброт увидел что-то общее в этих примерах и дал им описание. Бенуа Мандельброт. Фото: Yale University, www. В начале 60-х годов Мандельброт занимался экономикой, изучал динамику цен на хлопок. В то время почти все экономисты считали, что в долгосрочной перспективе цены зависят от внешних факторов, а в краткосрочной колеблются случайным образом.
Однако Мандельброт сумел разглядеть в динамике цен закономерность — она практически не зависела от масштаба! Говоря другими словами, изменения цен за год и за месяц на графиках выглядели как две практически одинаковые кривые, несмотря на прошедшие за рассматриваемый период две мировые войны. Множество Жюлиа, www. В то же время научным сообществом его исследования воспринимались как нечто недостойное внимания. Отчасти это происходило из-за недостаточной на тот момент формальности теории, отчасти — из-за ее разрозненности.
Большинство ученых просто не понимали, как и для чего можно применять эту теорию. Однако это не помешало ее дальнейшему развитию. Функция Вейерштрасса. Иллюстрация: Eeyore22, www. Сама же теория проделала долгий путь от рисования занимательных и необычных фигур и поиска их аналогов в реальном мире до практического использования при решении серьезных научных задач.
Например, одно из свойств фракталов основано на их способности иметь дробную размерность. Рассмотрим в качестве примера необычную кривую Гильберта с размерностью, очень близкой к 2, и нарисуем ее на плоскости. Она будет настолько извилистой, что полностью займет всю предоставленную ей плоскость, при этом оставаясь кривой с бесконечной длиной. Аналогично можно представить объемную структуру с небольшим объемом и бесконечной площадью — это человеческие легкие. Способность поглощать кислород напрямую зависит от площади дыхательной поверхности легких, но при этом они должны занимать относительно небольшой объем.
Наконец, фракталы имеют важное значение для нашего понимания природы и ее эволюции. Фрактальные структуры можно найти во многих биологических системах, таких как листья растений, коралловые рифы или формы костей и мышц. Изучение фрактальных структур может помочь понять принципы, которые лежат в основе этих систем, и использовать их для создания новых технологий и материалов. Фракталы часто ассоциируются с мистикой и духовностью. Некоторые люди считают, что фрактальные формы отражают глубинные законы природы и космоса, а также являются символами бесконечности и единства всего сущего. Фракталы также используются в медитации и визуализации для достижения состояния гармонии и равновесия. Однако, важно отметить, что эти убеждения не имеют научного обоснования. В целом, фракталы - это удивительный математический объект, который имеет множество приложений в науке, технологии и искусстве.
Они помогают нам лучше понимать сложность и красоту природы, а также развивать новые методы анализа и моделирования сложных систем.
Отсюда и делается приведенный выше, вроде бы убийственный для фракталов вывод. Однако, «в конечном счете ничто так не помогает победе истины, как сопротивление ей» У. Ведь вывод нашего критика напоминает, что по сути ни один объект теоретической науки, ни одна математическая модель природного объекта, процесса и т.
Но в том трагедии нет. Ведь в действительности теоретические «точные науки» называются так. Исторический опыт науки показывает, что внутренне непротиворечивые модели все более адекватно представляют свойства наблюдаемых объектов, что в целом растет предсказательная сила науки. Так и с фракталами.
Да, «реальные системы не являются фракталами в точном [математическом] смысле этого термина, они могут быть только фракталоподобными». Аналогично реальная материя не является «строго континуальной», а лишь «континуально-подобной» в определенных пределах, на нескольких маршах бесконечной лестницы масштабов, или «дискретно-подобной» на других ее участках. Для приближенного описания ряда свойств и закономерностей существующих систем достаточно того, что они в каких-то конечных интервалах масштабов удовлетворительно представляются идеальной моделью фрактальной системы. В этом и состоит соотношение любых теоретических моделей с реальностью.
В этом — единственно возможном и обычном во всей науке! Фрактальная Вселенная и А. Вот как об этом пишет, например, Е. Фейнберг в очерке «Контуры биографии»: «Здесь [на военном заводе в Ульяновске] началась его творческая работа [- выполнены] четыре работы по теоретической физике.
Из очерка А. Яглома «Товарищ школьных лет»: «Д. Сахаров, отец Андрея, по приезде сына в Москву передал какую-то его научную рукопись Тамму через математика А. Лопшица, давнего знакомого Игоря Евгеньевича».
А в письме сотрудников отдела теоретической физики им. На оборонном заводе 1942 — начало 1945 г. Случилось так, что я имею информацию об одной из этих работ, непосредственно от И. В начале зимы 1959—1960 г.
В заключение беседы, уже провожая меня, И. На этом мы и распрощались. Пока остается неизвестным, какой именно путь молодой Андрей Сахаров нашел для построения того, что мы в эпоху фракталов вправе назвать фрактальным исчислением. Но то, что Сахаров не только интересовался этим вопросом почти забытым тогда в математике и ставшим актуальным в физике лишь через 30 лет , но и решил его — судя по словам И.
Тамма, непреложный факт. Мы можем констатировать, что по меньшей мере одна из остающихся неизвестными его первых работ была посвящена не «теоретической физике небольшого масштаба», а очень нетривиальной математике. Сахаровым еще полвека назад, подобно тому, как молодые Галуа и Абель создавали теорию групп, в конечном счете, для Реальной Природы, а Н. Лобачевский на нее же примерял свою «воображаемую геометрию»...
Заключение По существу, только начинающаяся всерьез «история фракталов» в современной науке, в нашей картине мира, помимо множества частных результатов и выводов, уже дает основание для ряда обобщающих заключений, на этом новом примере подтверждающих генеральные закономерности и тенденции развития науки — познания Вселенной. Мы еще раз, на истории с фракталами, убеждаемся в парадоксальном характере научных революций и вообще крупных прозрений в науке, с удивлением и восторгом открываем то, что всегда видели вокруг себя, но не замечали. Фракталы-деревья растут вокруг нас. Но, вопреки пословице, до недавних дней за лесом мы не видели отдельного, всегда так или иначе фрактального дерева...
Фрактальные белые облака от века плыли у нас над головами по фрактально голубому небу... На фрактальном морском бережку мудрый Аристотель, прихлебывая фрактальную простоквашу, обдумывал важные, но совсем другие проблемы, не замечая этой; а его легкомысленный соплеменник, молодой древний грек, перебрав неразведенного фрактального вина из плодов фрактального виноградного куста, заплетающимися ногами выписывал фрактальную траекторию на площади у Парфенона... А уж совсем в нашу эпоху сонмы ученых, разбредясь по фрактальным маршрутам своих лабораторий, до мозолей на фрактальных извилинах изучали кто почву земли-матушки, кто фликкер-шум в радиоприемнике, кто переменные звезды и квазары; а кто углубился «в себя», в систему своих кровеносных сосудов или даже ресничек на стенках кишечника, и т. Открытие фрактальности Мира еще раз подтвердило «поразительную эффективность математики в естественных науках» Е.
Очевидно, приведенные выше сетования на то, что физическая концепция фракталов якобы «не имеет адекватного аппарата в традиционной математике» Дж. Лэн и др. Математика и на этот раз оказывается, так сказать, «превентивной физикой»! Да, в физической Природе не существуют ни идеальный газ, ни континуальная материя, ни фрактальные объекты с «действительно бесконечной» лестницей иерархических этажей.
Но это не делает беспредметными ни дифференциальное, ни интегральное, ни фрактальное! Открытие фрактальности Вселенной распутывает гигантский клубок труднейших проблем во всех областях естествознания. Та «прореха» в картине мира, где не хватало фракталов, заполнялась, как обычно бывает, натягиванием на подобную «черную дыру» соседних элементов этой картины, что сильно деформировало полученный таким образом фрагмент изображения. Да и соседние, неестественно растягиваемые фрагменты искажались, а наши представления о Природе в уже изученных областях оказывались неадекватными, лишенными правильных связей и пропорций.
Ошибки, ранее не замечавшиеся рядом и на фоне соседней Гигантской Деформации, теперь-таки получают шанс на исправление. Какие конкретно неожиданные сдвиги и прорывы в этих соседних областях принесет установление фрактальности Вселенной — заранее сказать невозможно. Но есть уверенность, на основе всего предшествующего опыта познания Вселенной, что принесет! Это может быть, к примеру, и новое понимание всей фундаментальной концепции Хаоса — одного из важнейших понятий и научного, и философского, и даже религиозного мировоззрения.
Здесь, как говорится, все возможно. И это, конечно, как раз самое интересное! Милн, из историй о Винни-Пухе. Примечание 1 Имеется в виду концепция акад.
Кардашева о возможных формах сверхцивилизаций, отличающихся разной степенью освоения пространства и его энергетических ресурсов. Казютинского «Феномен русского космизма» в ж. Сазанова в ж. Якимовой в ж.
Якимовой «Структурная матрица физической Вселенной» в ж. Идлис со своих позиций также говорит о «сквозной фрактальности Вселенной», см.
Математика в природе: самые красивые закономерности в окружающем мире
| Созерцание великого фрактального подобия / Хабр | фракталам. Фрактальную природу имеют многие структуры в природе, они нашли применение в науке и технике. |
| Прибыльная торговля с помощью фрактальности существует? | Красота фракталов состоит в том, что их "бесконечная" сложность сформирована относительно простыми линиями. |
| Фракталы в природе (53 фото) | Термин «фрактал» был введён Бенуа Мандельбротом в 1975 году и получил широкую популярность с выходом в 1977 году его книги «Фрактальная геометрия природы». |
Фракталы в природе. Мир вокруг нас. Ч.2
Природа создаёт удивительные и прекрасные фракталы, с безупречной геометрией и идеальной гармонией. Международная группа ученых обнаружила впервые нашла в природе молекулу, обладающую свойствами регулярного фрактала. Открытие молекулярного фрактала в цианобактерии – это не просто научная сенсация, но и философский повод задуматься о роли случайности в возникновении порядка, о сложном взаимодействии хаоса и гармонии в природе. Термин «фрактал» был введён Бенуа Мандельбротом в 1975 году и получил широкую популярность с выходом в 1977 году его книги «Фрактальная геометрия природы». Роль её печени играют камни и песок, через который фильтруются макро загрязнения, и круговорот воды в природе, который отделяет молекулы воды от микро мусора. Поскольку в природе мы часто наблюдаем фрактальные узоры, то искусственно созданный фрактальный трехмерный объект кажется невероятно реалистичным и даже «живым».
Математика в природе: самые красивые закономерности в окружающем мире
Облака, морские раковины, «домик» улитки, кора и крона деревьев, кровеносная система и так далее — случайные формы всех этих объектов могут быть описаны фрактальным алгоритмом. Он сам придумал этот термин в семидесятых годах прошлого века, позаимствовав слово fractus из латыни, где оно буквально означает «ломанный» или «дробленный». Что же это такое? Сегодня под словом «фрактал» чаще всего принято подразумевать графическое изображение структуры, которая в более крупном масштабе подобна сама себе. Математическая база для появления теории фракталов была заложена за много лет до рождения Бенуа Мандельброта, однако развиться она смогла лишь с появлением вычислительных устройств. В начале своей научной деятельности Бенуа работал в исследовательском центре компании IBM.
В то время сотрудники центра трудились над передачей данных на расстояние. В ходе исследований ученые столкнулись с проблемой больших потерь, возникающих из-за шумовых помех. Перед Бенуа стояла сложная и очень важная задача — понять, как предсказать возникновение шумовых помех в электронных схемах, когда статистический метод оказывается неэффективным. Просматривая результаты измерений шума, Мандельброт обратил внимание на одну странную закономерность — графики шумов в разном масштабе выглядели одинаково. Идентичная картина наблюдалась независимо от того, был ли это график шумов за один день, неделю или час.
Стоило изменить масштаб графика, и картина каждый раз повторялась. При жизни Бенуа Мандельброт неоднократно говорил, что он не занимается формулами, а просто играет с картинками. Этот человек мыслил очень образно, а любую алгебраическую задачу переводил в область геометрии, где, по его словам, правильный ответ всегда очевиден. Неудивительно, что именно человек с таким богатым пространственным воображением стал отцом фрактальной геометрии. Ведь осознание сути фракталов приходит именно тогда, когда начинаешь изучать рисунки и вдумываться в смысл странных узоров-завихрений.
Фрактальный рисунок не имеет идентичных элементов, но обладает подобностью в любом масштабе. Построить такое изображение с высокой степенью детализации вручную ранее было просто невозможно, на это требовалось огромное количество вычислений. Если же говорить про принципы самоподобия, то о них упоминалось еще в трудах Лейбница и Георга Кантора. Один из первых рисунков фрактала был графической интерпретацией множества Мандельброта, которое родилось благодаря исследованиям Гастона Мориса Жюлиа Gaston Maurice Julia. Гастон Жюлиа всегда в маске — травма с Первой мировой войны Этот французский математик задался вопросом, как будет выглядеть множество, если построить его на основе простой формулы, проитерированной циклом обратной связи.
Если объяснить «на пальцах», это означает, что для конкретного числа мы находим по формуле новое значение, после чего подставляем его снова в формулу и получаем еще одно значение. Результат — большая последовательность чисел. Чтобы получить полное представление о таком множестве, нужно проделать огромное количество вычислений — сотни, тысячи, миллионы. Вручную это сделать было просто нереально. Но когда в распоряжении математиков появились мощные вычислительные устройства, они смогли по-новому взглянуть на формулы и выражения, которые давно вызывали интерес.
Мандельброт был первым, кто использовал компьютер для просчета классического фрактала. Обработав последовательность, состоящую из большого количества значений, Бенуа перенес результаты на график. Вот что он получил. Впоследствии это изображение было раскрашено например, один из способов окрашивания цветом — по числу итераций и стало одним из самых популярных изображений, какие только были созданы человеком. Как гласит древнее изречение, приписываемое Гераклиту Эфесскому, «В одну и ту же реку нельзя войти дважды».
Оно как нельзя лучше подходит для трактования геометрии фракталов. Как бы детально мы ни рассматривали фрактальное изображение, мы все время будем видеть схожий рисунок. Желающие посмотреть, как будет выглядеть изображение пространства Мандельброта при многократном увеличении, могут сделать это, загрузив анимационный GIF. Поскольку она тесно связана с визуализацией самоподобных образов, неудивительно, что первыми, кто взял на вооружение алгоритмы и принципы построения необычных форм, были художники. Carpenter в 1967 году начал работать в компании Boeing Computer Services, которая была одним из подразделений известной корпорации, занимающейся разработкой новых самолетов.
В 1977 году он создавал презентации с прототипами летающих моделей. В обязанности Лорена входила разработка изображений проектируемых самолетов. Он должен был создавать картинки новых моделей, показывая будущие самолеты с разных сторон. В какой-то момент в голову будущему основателю Pixar Animation Studios пришла в голову креативная идея использовать в качестве фона изображение гор. Сегодня такую задачу может решить любой школьник, но в конце семидесятых годов прошлого века компьютеры не могли справиться со столь сложными вычислениями — графических редакторов не было, не говоря уже о приложениях для трехмерной графики.
В 1978 году Лорен случайно увидел в магазине книгу Бенуа Мандельброта «Фракталы: форма, случайность и размерность». В этой книге его внимание привлекло то, что Бенуа приводил массу примеров фрактальных форм в реальной жизни и доказывал, что их можно описать математическим выражением. Такая аналогия была выбрана математиком не случайно. Дело в том, что как только он обнародовал свои исследования, ему пришлось столкнуться с целым шквалом критики. Главное, в чем упрекали его коллеги, — бесполезность разрабатываемой теории.
Практической ценности теория фракталов не имеет». Были также те, кто вообще считал, что фрактальные узоры — просто побочный результат работы «дьявольских машин», которые в конце семидесятых многим казались чем-то слишком сложным и неизученным, чтобы всецело им доверять. Мандельброт пытался найти очевидное применение теории фракталов, но, по большому счету, ему и не нужно было это делать. Последователи Бенуа Мандельброта в следующие 25 лет доказали огромную пользу от подобного «математического курьеза», и Лорен Карпентер был одним из первых, кто опробовал метод фракталов на практике. Проштудировав книжку, будущий аниматор серьезно изучил принципы фрактальной геометрии и стал искать способ реализовать ее в компьютерной графике.
Всего за три дня работы Лорен смог визуализировать реалистичное изображение горной системы на своем компьютере.
Фракталы — бесконечное почти повторение Фракталы — еще одна интересная математическая форма, которую каждый видели в природе. Сам Фрактал — это самоподобная повторяющаяся форма, что означает, что одна и та же основная форма появляется снова и снова. Другими словами, если вы увеличите или уменьшите масштаб, везде будет видна одна и та же. Эти самоподобные циклические математические конструкции, обладающие фрактальной размерностью, встречаются довольно часто, особенно среди растений. Самый известный пример — папоротник. Листья папоротников являются типичным примером самоповторяющегося ряда. Кстати, бесконечная повторяемость невозможна в природе, поэтому все фрактальные закономерности — это только аппроксимации приближения. Например, листья папоротников и некоторых зонтичных растений например, тмин являются самоподобными до второго, третьего или четвертого уровня. Схожие с папоротником паттерны встречаются также у многих растений брокколи, капуста сорта Романеско, кроны деревьев и листья растений, плод ананаса , животных мшанки, кораллы, гидроидные, морские звезды, морские ежи.
Также фрактальные паттерны имеют место в структуре разветвления кровеносных сосудов и бронхов животных и человека. Первые примеры самоподобных множеств с необычными свойствами появились в XIX веке в результате изучения непрерывных недифференцируемых функций например, функция Больцано, функция Вейерштрасса, множество Кантора. Термин «фрактал» введен Бенуа Мандельбротом в 1975 году и получил широкую известность с выходом в 1977 году его книги «Фрактальная геометрия природы». Множество Мандельброта — классический образец фрактала Особую популярность фракталы обрели с развитием компьютерных технологий, позволивших эффектно визуализировать эти структуры. Многоугольники — инженерный гений При достаточной наблюдательности в живой природе легко обнаружить строгую геометрию. В особом почете оказываются гексагоны — правильные шестиугольники. Например, соты, в которых пчелы хранят золотистый нектар, — это чудеса инженерного искусства, набор ячеек в форме призмы с правильным шестиугольником в основании. Толщина восковых стенок строго определена, ячейки немного отклоняются от горизонтали, чтобы вязкий мед не вытекал, и соты находятся в равновесии с учетом влияния магнитного поля Земли.
На практике это означает, что если вы увеличите часть фрактала, вы увидите аналогичную структуру, а если вы увеличите часть этой части, вы опять увидите аналогичную структуру, и так далее, по существу, до бесконечности. В природе фрактальные особенности проявляются в таких вещах, как снежинки, молнии или дельты рек. Молекулы могут показаться идеальным местом, где можно их найти, поскольку они могут принимать самые разные формы, но среди всех существующих каталогов молекул никогда не было ни одного правильного фрактала тех, которые почти точно совпадают по масштабам. Но теперь ученые из Института Макса Планка и Университета Филиппса обнаружили первый регулярный молекулярный фрактал. Это фермент, используемый видами цианобактерий для производства цитрата, который, как было обнаружено, естественным образом собирается в определенный фрактальный узор, называемый треугольником Серпинского. Развитие фрактальной модели треугольника Серпинского. Имея в руках структуру, стало ясно, как именно этому белку удается собраться во фрактал: обычно при самосборке белков структура очень симметрична: каждая отдельная белковая цепь принимает такое же расположение относительно своих соседей.
Построение "дракона" Хартера-Хейтуэя Для построения треугольника Серпинского начальный элемент — треугольник со всеми внутренними точками. Образующий элемент исключает из него центральный треугольник. Фрактальное множество получается в пределе при бесконечно большом числе. Построение треугольника Серпинского Представленные примеры геометрических фракталов не являются единственными, существует огромное количество других, еще более сложных и интересных фракталов. Геометрические фракталы имеют огромное практическое значение. Применяя их в компьютерной графике, ученые научились получать сложные объекты, похожие на природные: изображения снежинок, горных вершин, искусственных облаков, деревьев, кустов, веток, береговой линии и так далее. Двухмерные геометрические фракталы используются для создания объемных текстур. Алгебраические фракталы Эти фракталы могут быть описаны с помощью алгебраических уравнений или рекурсивных формул. Эти уравнения и формулы определяют правила, по которым точки или фигуры повторяются и изменяются на каждой итерации. Алгебраические фракталы могут иметь сложную и красивую геометрию, которая может быть воспроизведена и визуализирована с помощью компьютерной графики. Они могут быть двухмерными или трехмерными, и их формы могут быть симметричными или случайными. Алгебраические фракталы имеют множество применений в различных областях, включая компьютерную графику, науку, искусство и дизайн. Они могут быть использованы для создания красивых и сложных изображений, моделирования природных явлений, анализа данных и многого другого. Почему мнимой? Комплексные числа можно складывать, вычитать, умножать, делить, возводить в степень и извлекать корень, нельзя только их сравнивать. Комплексное число можно изобразить как точку на плоскости, у которой координата х - это действительная часть a, а y - это коэффициент при мнимой части b. Расчет данной функции продолжается до выполнения определенного условия. И когда это условие выполнится - на экран выводится точка определенного цвета. Результатом оказывается странная фигура, в которой прямые линии переходят в кривые, появляются, хотя и не без деформаций, эффекты самоподобия на различных масштабных уровнях. При этом вся картина в целом является непредсказуемой и очень хаотичной. Неожиданностью для математиков стала возможность с помощью примитивных алгоритмов порождать очень сложные нетривиальные структуры. Вот несколько примеров алгебраических фракталов: Множество Мандельброта — это один из самых известных алгебраических фракталов. Он создается путем итеративного применения простой математической формулы к каждой точке на комплексной плоскости. Результатом является изображение, которое состоит из бесконечного количества деталей и самоподобных структур. Фрактал Жюлиа — это еще один пример алгебраического фрактала, который создается с помощью итеративного применения формулы к каждой точке на комплексной плоскости.
Что такое фрактал, как он проявляется в природе и что еще о нем нужно знать
Несмотря на то, что фрактальные фигуры были замечены в природе и сконструированы математиками уже довольно давно, впервые научно обосновать существование фракталов смог Бенуа Мандельброт лишь в 1970-х годах. Понятие ФРАКТАЛЫ (fractus -состоящий из фрагментов) введено в научный обиход Бенуа Мандельбротом. Геометрия природы» пользователя Мария Иванова в Pinterest. Посмотрите больше идей на темы «фракталы, фрактальное искусство, природа». Фракталы в природе.
9 Удивительных фракталов, найденных в природе
| Фракталы в природе и в дизайне: сакральная геометрия повсюду | Это и есть яркое проявление фрактальной геометрии в природе. |
| Что такое фрактал?: Идеи и вдохновение в журнале Ярмарки Мастеров | Фракталом в прессе и научно-популярной литературе могут называть фигуры, обладающие какими-либо из перечисленных ниже свойств. |
| Фрактальные закономерности в природе | Таких процессов в природе огромное количество, важно просто понимать, что даже довольно простой по своей сути феномен (как описанный выше) зачастую приводит к фрактальным структурам. |
Открытие первой фрактальной молекулы в природе — математическое чудо
Немного о фракталах и множестве Мандельброта Антон Ступин Что породило само понятие фрактал? Посмотрите потрясающие примеры фракталов в природе. Смотрите 51 фото онлайн по теме фракталы в природе фото. Да, в физической Природе не существуют ни идеальный газ, ни континуальная материя, ни фрактальные объекты с «действительно бесконечной» лестницей иерархических этажей. Международная команда исследователей под руководством ученых из Германии обнаружила молекулярный фрактал в цитрат-синтазе цианобактерии, ферменте микроорганизма, который спонтанно собирается в фигуру, известную в математике как «треугольник Серпинского».
1 из 9: Романеско
- Фрактал. 5 вопросов
- Фракталы и их дизайн — неопознанные элементы науки
- Фракталы. Чудеса природы. Поиски новых размерностей
- Феномен жизни во фрактальной Вселенной
- Фракталы: что это такое, какими они бывают и где они применяются / Skillbox Media
- Поделиться
Математика в природе: самые красивые закономерности в окружающем мире
Первый вариант указан в 1858 г. Летниковым в России и пражским математиком Л. К сожалению, обобщение это осталось мало известным. Во всяком случае, от студентов его почему-то тщательно «хранили в секрете» в течение многих десятилетий! Непонятное пренебрежение вопросом, которым интересовались названные выше корифеи математики и который неизбежно должен был возникать хотя бы у пытливых но не слишком эрудированных студентов, привело к тому, что стали неизбежными попытки «изобретений велосипеда». Мне, например, известны целых три такие «изобретения» в России за полтора десятка лет в середине XX в.
Главная причина более чем вековой невостребованности данного обобщения обычна и естественна: отсутствие в природе, как казалось, объектов, систем, процессов, которые требовали бы для своего понимания и описания операции дифференцирования интегрирования произвольного нецелого порядка кратности , например: f n х , где n — произвольно. Стоит отметить и еще один момент. С эпохи Лейбница и до наших дней для указанного обобщения аппарата математического анализа не было предложено ни удачной символики, ни яркого и компактного термина. В наше время, после открытия фрактальности Вселенной, для соответствующего математического аппарата прямо-таки напрашивается и представляется неизбежным термин «фрактальное исчисление». Он лаконичен, емок, логичен, историчен и физичен.
Мне кажется разумным остановиться именно на нем для наименования обобщения дифференциального и интегрального исчисления на дробные включая комплексные порядки производной и кратности интеграла. В отличие от уже традиционного физического термина «фрактал», соответствующий математический оператор мог бы именоваться, скажем, «фракталл». Для обозначения же фракталла порядка n от функции f z , я рискнул предложить в [ 12 ] новый символ, сочетающий стилизованные элементы знаков и интеграла, и дифференциала: Можно предвидеть, что после осознания фрактальности Вселенной и следующей отсюда вариации картины мира, с выходом «фрактального исчисления» из незаслуженного полузабвения — актуальным окажется и требуемое обобщение дифференциальных и интегральных уравнений 13. Могут быть введены не только «фрактальные уравнения», отличающиеся от дифференциальных и интегральных «лишь» дробностью порядка. Прецеденты этого уже имеются Висе, 1986; Метцлер и др.
Фрактальные уравнения могут включать и такие, где, скажем, неизвестной искомой функцией является сам переменный порядок этого уравнения. Предлагаются и такие обобщения, как введение зависимости п от координат и др. Видимо, концепция фракталов может быть связана с выдвинутой в начале 60-х гг. Гротендиком теорией топосов — пространств с топологией, меняющейся от точки к точке — и со временем?! Не приходится опасаться того, что «фрактальный анализ» и «фрактальные уравнения» останутся невостребованными.
Не думаю, чтобы в наше время кто-нибудь повторил ошибку знаменитого астронома и физика Дж. Джинса, утверждавшего, что есть творения математиков, которые никогда не пригодятся за пределами математики. В качестве очевидного примера он приводил теорию групп, на которую ныне завязана, как утверждают специалисты, добрая половина физики! Напротив, история науки многократно подтверждала правоту замечательного математика Ш. Эрмита: «Я убежден, что самым абстрактным спекуляциям Анализа соответствуют реальные соотношения, существующие вне нас, которые когда-нибудь достигнут нашего сознания».
Чуть-чуть фрактальной математики «Главная задача математики наших дней состоит в достижении гармонии между континуальным и дискретным, включении их в единое математическое целое» Ф. Та же задача, видимо, стоит и перед физикой. И построение исчисления, включившего дискретные целые действительные значения фрактального оператора как частный случай, открывает реальные перспективы серьезного продвижения в решении указанной фундаментальной математической — физической — общенаучной — философской проблемы. Как потом оказалось, выражение это с точностью до тождественных преобразований совпало с оператором, найденным за 96 лет до этого Тарди; а через четыре года после меня эквивалентное повторение результата Тарди было опубликовано А. Светлановым [ 11 ].
Опуская для простоты некоторую «дополнительную функцию», аналог произвольной аддитивной постоянной неопределенного интеграла, имеем: 1 Или максимально компактно: 1а где Г — гамма-функция Эйлера. Вывод оператора занимал у меня полторы страницы и опирался на пару довольно рискованных шагов. Но результат оказался верен. Как всегда при принципиальном шаге к новой картине мира, на пути встают исторически необходимые! В данном случае возражение их радикально.
Начиная с аккуратного сомнения, скептик в данном случае весьма проницательный теоретик заключает: «Фракталы не являются реально существующими объектами» [ 14 ],с. Реальные системы не являются фракталами в точном смысле этого термина, они могут быть только фракталоподобными». Отсюда и делается приведенный выше, вроде бы убийственный для фракталов вывод. Однако, «в конечном счете ничто так не помогает победе истины, как сопротивление ей» У. Ведь вывод нашего критика напоминает, что по сути ни один объект теоретической науки, ни одна математическая модель природного объекта, процесса и т.
Но в том трагедии нет. Ведь в действительности теоретические «точные науки» называются так. Исторический опыт науки показывает, что внутренне непротиворечивые модели все более адекватно представляют свойства наблюдаемых объектов, что в целом растет предсказательная сила науки. Так и с фракталами. Да, «реальные системы не являются фракталами в точном [математическом] смысле этого термина, они могут быть только фракталоподобными».
Аналогично реальная материя не является «строго континуальной», а лишь «континуально-подобной» в определенных пределах, на нескольких маршах бесконечной лестницы масштабов, или «дискретно-подобной» на других ее участках. Для приближенного описания ряда свойств и закономерностей существующих систем достаточно того, что они в каких-то конечных интервалах масштабов удовлетворительно представляются идеальной моделью фрактальной системы. В этом и состоит соотношение любых теоретических моделей с реальностью. В этом — единственно возможном и обычном во всей науке! Фрактальная Вселенная и А.
Вот как об этом пишет, например, Е. Фейнберг в очерке «Контуры биографии»: «Здесь [на военном заводе в Ульяновске] началась его творческая работа [- выполнены] четыре работы по теоретической физике. Из очерка А. Яглома «Товарищ школьных лет»: «Д. Сахаров, отец Андрея, по приезде сына в Москву передал какую-то его научную рукопись Тамму через математика А.
Лопшица, давнего знакомого Игоря Евгеньевича». А в письме сотрудников отдела теоретической физики им. На оборонном заводе 1942 — начало 1945 г. Случилось так, что я имею информацию об одной из этих работ, непосредственно от И. В начале зимы 1959—1960 г.
Дается ее определение и раскрывается сущность. Приводятся примеры пользы данной науки, а также в различных сферах и профессиях человеческой деятельности. Рубрика: 01. Фрактальная геометрия природы — это одно из важнейших открытий человечества, которое повлияло на совершенно разные виды деятельности человека.
В начале своей истории фрактальная геометрия являлась математическим открытием, но в наши дни принципы фрактальной геометрии используются и в дизайнерском искусстве, и в медицинской деятельности. Фрактал fractus в переводе с латинского означает «дробленый, сломанный, разбитый» [1]. В науке фрактал — это такое множество, которое обладает свойством самоподобия, такой объект, приближение которого приведет к видению подобных частиц. Огромный вклад в изучение фрактальной геометрии внес Бенуа Мандельброт, бельгийский математик.
Несмотря на то, что основная доля открытий в данной науке принадлежит этому ученому, все же во многом он обязан своим предшественникам, которые положили начало развития данной науки. Первым ученым, который задумался о том, что в хаотичности есть свой определенный порядок, стал Вейерштрасс. В 1872 году ученый представил свою работу в Королевской Академии наук в Пруссии.
Однако на микроскопическом уровне фрактальные узоры никогда ранее не наблюдались. Тем более что так называемые "регулярные", в которых структуры повторяются почти в точности на всех масштабах, очень сложны с геометрической точки зрения. Это микробный фермент, отвечающий за клеточный метаболизм в цианобактериях Synechococcus elongatus, фотосинтезирующих бактериях, которые живут как в воде, так и на суше. Самостоятельная сборка треугольников Серпинского Исследователи объясняют, что фермент, точную форму которого им удалось обнаружить, спонтанно образует треугольники Серпинского. Это фрактальный объект, состоящий из основного треугольника, состоящего из более мелких треугольников Серпинского, каждый из которых сам делится на еще более мелкие варианты, и так далее. По словам ученых, по мере развития фрактальной структуры треугольные пустоты становятся все больше и больше. Они утверждают, что никогда раньше не наблюдали подобной сборки белков.
Сборка белков, как правило, очень симметрична, поскольку белковая цепочка копирует положение своих соседей.
Геометрические фракталы имеют огромное практическое значение. Применяя их в компьютерной графике, ученые научились получать сложные объекты, похожие на природные: изображения снежинок, горных вершин, искусственных облаков, деревьев, кустов, веток, береговой линии и так далее. Двухмерные геометрические фракталы используются для создания объемных текстур. Алгебраические фракталы Эти фракталы могут быть описаны с помощью алгебраических уравнений или рекурсивных формул. Эти уравнения и формулы определяют правила, по которым точки или фигуры повторяются и изменяются на каждой итерации. Алгебраические фракталы могут иметь сложную и красивую геометрию, которая может быть воспроизведена и визуализирована с помощью компьютерной графики. Они могут быть двухмерными или трехмерными, и их формы могут быть симметричными или случайными. Алгебраические фракталы имеют множество применений в различных областях, включая компьютерную графику, науку, искусство и дизайн.
Они могут быть использованы для создания красивых и сложных изображений, моделирования природных явлений, анализа данных и многого другого. Почему мнимой? Комплексные числа можно складывать, вычитать, умножать, делить, возводить в степень и извлекать корень, нельзя только их сравнивать. Комплексное число можно изобразить как точку на плоскости, у которой координата х - это действительная часть a, а y - это коэффициент при мнимой части b. Расчет данной функции продолжается до выполнения определенного условия. И когда это условие выполнится - на экран выводится точка определенного цвета. Результатом оказывается странная фигура, в которой прямые линии переходят в кривые, появляются, хотя и не без деформаций, эффекты самоподобия на различных масштабных уровнях. При этом вся картина в целом является непредсказуемой и очень хаотичной. Неожиданностью для математиков стала возможность с помощью примитивных алгоритмов порождать очень сложные нетривиальные структуры.
Вот несколько примеров алгебраических фракталов: Множество Мандельброта — это один из самых известных алгебраических фракталов. Он создается путем итеративного применения простой математической формулы к каждой точке на комплексной плоскости. Результатом является изображение, которое состоит из бесконечного количества деталей и самоподобных структур. Фрактал Жюлиа — это еще один пример алгебраического фрактала, который создается с помощью итеративного применения формулы к каждой точке на комплексной плоскости. Он имеет разнообразные формы и структуры, которые зависят от выбранной формулы и параметров. Бассейны Ньютона также являются примерами алгебраических фракталов. Области с фрактальными границами появляются при приближенном нахождении корней нелинейного уравнения алгоритмом Ньютона на комплексной плоскости для функции действительной переменной метод Ньютона называют методом касательных, который обобщается для комплексной плоскости. Алгебраические фракталы обладают приближенной самоподобностью.
Физики нашли фракталы в лазерах
Просмотрите доску «Фракталы в природе» пользователя Александрина в Pinterest. Прекрасные фракталы в природе (18 фото) Морские раковины Nautilus является одним из наиболее известных примеров фрактала в природе. Фракталы — это математические модели, которые появляются снова и снова, повторяясь в разных размерах. Фракталы часто встречаются в природе.