В данном разделе вы найдете много статей и новостей по теме «фрактал». Все статьи перед публикацией проверяются, а новости публикуются только на основе статей из рецензируемых журналов. Если изучить фрактальную геометрию природы, то наблюдая природные явления человек перестанет видеть хаос. Он увидит, насколько просты принципы развития и распределения в природе. Фракталы — еще одна интересная математическая форма, которую каждый видели в природе.
Фрактал. 5 вопросов
| Исследовательская работа: «Фракталы в нашей жизни». | Фракталом в прессе и научно-популярной литературе могут называть фигуры, обладающие какими-либо из перечисленных ниже свойств. |
| Фракталы: что это такое и какие они бывают | Фрактальную природу имеют многие структуры в природе, они нашли применение в науке и технике. Фрактал — термин, означающий геометрическую ф Смотрите видео онлайн «Фракталы. |
| Что такое фрактал, как он проявляется в природе и что еще о нем нужно знать | ПРОСТО ФРАКТАЛ. Фракталы в природе. |
| Открытие первой фрактальной молекулы в природе — математическое чудо | Как вам, например, такая фраза: «Фрактал – это множество, обладающее дробной хаусдорфовой размерностью, которая больше топологической». |
Случайность как художник: учёные обнаружили первую фрактальную молекулу
Глядя на них трудно поверить, что это не творения природы и за ними скрываются математические формулы. Фракталы поразительно напоминают объекты живой и неживой природы вокруг нас. Словом они "как настоящие". Скорее всего, именно поэтому, однажды увидев, человек уже не может их забыть. Любопытную мысль приводит в своей книге "Фрактальная геометрия природы" американский математик Бенуа Мандельброт: "Почему геометрию часто называют холодной и сухой?
Одна из причин заключается в том, что она неспособна достаточно точно описать форму облака, горы, дерева или берега моря. Облака — это не сферы, линии берега — это не окружности, и кора не является гладкой, а молния не распространяется по прямой. Природа демонстрирует нам не просто более высокую степень, а совсем другой уровень сложности. Число различных масштабов длин в структурах всегда бесконечно.
Существование этих структур бросает нам вызов в виде трудной задачи изучения тех форм, которые Евклид отбросил как бесформенные — задачи исследования морфологии аморфного. Математики, однако, пренебрегли этим вызовом и предпочли все больше и больше отдаляться от природы, изобретая теории, которые не соответствуют ничему из того, что можно увидеть или почувствовать". Все, что существует в реальном мире, является фракталом — это и есть наша гипотеза, а цель данной работы показать, что математика не бездушный предмет, она может выражать духовный мир человека в отдельности и в обществе в целом. Объектом исследования выступают фракталы в математике и в реальном мире.
В процессе работы нами были выделены следующие задачи исследования: Проанализировать и проработать литературу по теме исследования. Рассмотреть и изучить различные виды фракталов. Дать представление о фракталах, встречающихся в нашей жизни. Актуальность заявленной темы определяется, в первую очередь, предметом исследования, в качестве которого выступает фрактальная геометрия.
Структура исследовательской работы определялась логикой исследования и поставленными задачами. Она включает в себя введение, две главы, заключение, список использованной литературы, приложения. История появления понятия «фрактал» Первые идеи фрактальной геометрии возникли в 19 веке. Георг Кантор Cantor, 1845-1918 - немецкий математик, логик, теолог, создатель теории бесконечных множеств, с помощью простой рекурсивной повторяющейся процедуры превратил линию в набор несвязанных точек.
Он брал линию и удалял центральную треть и после этого повторял то же самое с оставшимися отрезками. Получалась, так называемая, Пыль Кантора приложения 1, 2. Джузеппе Пеано Giuseppe Peano; 1858-1932 — итальянский математик изобразил особую линию.
В интерьере постер-фрактал лучше поместить на самое видное место. Он может являться абсолютной доминатой благодаря своей насыщенной деталями графике. Тематика фракталов неограниченна, но самые распространенные космос, кибер тематика, цветы и узоры как из мира фэнтези.
Романессу - особый вид брокколи, крестоцветный и вкусный двоюродный брат капусты - является особенно симметричным фракталом. Папоротник является хорошим примером фрактала среди флоры. Каждое соцветие копируется точно таким же только меньше. Фото сделано снизу, чтобы разглядеть это во всей красе. Брокколи - хоть брокколи не так лихо геометрична, как романессу, но тоже фрактальна.
Павлины - всем известны своим красочным оперением, в котором спрятаны сплошные фракталы. Ананас - необычный плод это есть, фактически, фрактал. Хоть он часто связывается с Гавайями, плод - уроженец южной Бразилии.
Удивительное многоуровневое повторение по одному принципу! Строение скелетной мышцы. Пример фрактальности Кровеносная система Другой пример — кровеносная система. Её представляют два срощенных ветвящихся фрактала артериальный и венозный. Крупные сосуды — артерии разветвляются на сосуды меньшего диаметра — артериолы, которые многократно разветвляются до мельчайших сосудов, пронизывающих все ткани организма — капилляров. В тканях капилляры плавно переходят в венулы. Последние постепенно сливаются в более крупные вены, самые крупные из них впадают в сердце. Значительно упрощённая схема кровообращения приведена ниже: Рис. Схема кровообращения Такое фрактальное строение обеспечивает максимальное снабжение тканей кислородом и питательными веществами, в том числе и при незначительных повреждениях. Интересный факт: у больного человека часто срабатывают компенсаторные механизмы. К примеру, у пациента, длительное время страдающего частичной закупоркой стенозом сосуда, со временем наблюдается появление новой сети мелких сосудов коллатералей , которые начинают доставлять кровь к обделённому участку в обход закупоренного. Именно поэтому последствия инфаркта миокарда у возрастных больных с историей хронических сердечно-сосудистых заболеваний намного легче, чем у молодых пациентов. У возрастных больных кровоснабжение быстрей восстановится благодаря имеющимся коллатералям. Другими словами инфаркт в молодом возрасте опасней, чем в пожилом. Благодаря фрактальному строению коронарной системы, обеспечивающей кровоснабжение сердечной мышцы, во многих случаях удаётся избежать инфаркта миокарда. К тому же именно фрактальное строение сердечных мышечных волокон при повреждении какой-либо её части инфаркт миокарда зачастую позволяет сердцу продолжать свою работу. Фрактальное строение сердечной мышцы и коронарных сосудов. Дыхательная система Дыхательная система ещё один яркий пример фрактала. Её структурными элементами являются трахея, бронхи, бронхиолы, которые в совокупности образуют бронхиальное дерево; а также альвеолы, соединяющиеся в пирамидальные дольки, из которых и состоит лёгкое. Удивительно, но благодаря фрактальному принципу строения лёгких, в человеческой грудной клетке возможно разместить площадь теннисного корта. Именно столько занимает дыхательная поверхность лёгких.
Фракталы: что это такое и какие они бывают
Фракталы часто встречаются в природе. Часто говорят, что мать-природа чертовски хороший дизайнер, а фракталы можно рассматривать как принципы дизайна, которым она следует, собирая вещи вместе. В ней он впервые заговорил о фрактальной природе нашего многомерного мира. Фракталы кажутся нам слишком совершенными, чтобы существовать в реальности, но они не так уж редко встречаются в природе, в частности реализуя себя в виде растений. Деревья – один из самых квинтэссенциальных фракталов в природе.
Математика в природе: самые красивые закономерности в окружающем мире
| Что такое фрактал, как он проявляется в природе и что еще о нем нужно знать | Да, в физической Природе не существуют ни идеальный газ, ни континуальная материя, ни фрактальные объекты с «действительно бесконечной» лестницей иерархических этажей. |
| Фракталы: факты, картинки и где встречаются в природе | Молекулярным фракталом оказался микробный фермент — цитратсинтазу цианобактерии, которая спонтанно собирается в структуру, известную как треугольник Серпинского. |
| Случайность как художник: учёные обнаружили первую фрактальную молекулу | Деревья – один из самых квинтэссенциальных фракталов в природе. |
| Фрактальные узоры в природе и искусстве эстетичны и снимают стресс | Международная группа ученых обнаружила первую в природе молекулу, которая является регулярным фракталом. |
| Фракталы в природе: красота бесконечности вокруг нас | Фрактальную природу имеют многие структуры в природе, они нашли применение в науке и технике. |
Фракталы в природе и в дизайне: сакральная геометрия повсюду
В ней он впервые заговорил о фрактальной природе нашего многомерного мира. Фрактальную природу имеют многие структуры в природе, они нашли применение в науке и технике. В данном разделе вы найдете много статей и новостей по теме «фрактал». Все статьи перед публикацией проверяются, а новости публикуются только на основе статей из рецензируемых журналов. Смотрите 65 фотографии онлайн по теме фракталы в природе животные.
Откройте свой Мир!
Фрактальная геометрия природы. В 1982 году вышла книга Мандельброта «Фрактальная геометрия природы», в которой автор собрал и систематизировал практически всю имевшуюся на тот момент информацию о фракталах и в легкой и доступной манере изложил ее. Фрактал – это геометрическая фигура, в которой один и тот же мотив повторяется в последовательно уменьшающемся масштабе. Одним из таких исследований является изучение фракталов в природе. Фрактальную природу имеют многие структуры в природе, они нашли применение в науке и технике. Фрактал — термин, означающий геометрическую ф Смотрите видео онлайн «Фракталы.
Впервые в природе обнаружена микроскопическая фрактальная структура
ПРОСТО ФРАКТАЛ Фракталы в природе В природе нет недостатка в самоподобных формах: подсолнух и брокколи, морские раковины, папоротник, снежинки, горные расселины, береговые линии, фьорды, сталагмиты и сталактиты, молнии, ветви деревьев, русла рек, турбулентные вихри, сосудистая система человека, планировка городов и общественное устройство. Неправильные и фрагментарные формы — облака, горы, листья — демонстрируют повтор почти однотипных фрагментов при разных масштабах наблюдения. На рисунке эти формы застыли.
Если шарик отклонили немного, то его движение описывается линейными уравнениями. Если отклонение сделать достаточно большим - уравнения будут уже нелинейными.
Что при этом изменится? В первом случае частота колебаний и, соответственно, период не зависит от степени начального отклонения. Во втором - такая зависимость имеет место. Полный аналог механического маятника как колебательной системы - колебательный контур, или "электрический маятник".
В простейшем случае он состоит из катушки индуктивности, конденсатора емкости и резистора сопротивления. Если все три указанных элемента линейны, то колебания в контуре эквивалентны колебаниям линейного маятника. Но если, к примеру, емкость нелинейна, период колебаний будет зависеть от их амплитуды. Динамика колебательного контура определяется двумя переменными, например током в контуре и напряжением на емкости.
Если откладывать эти величины вдоль осей Х и Y, то каждому состоянию системы будет соответствовать определенная точка на полученной координатной плоскости. Такую плоскость называют фазовой. Соответственно, если динамическая система определяется n переменными, то вместо двумерной фазовой плоскости ей можно поставить в соответствие n-мерное фазовое пространство. Теперь начнем воздействовать на наши маятники внешним периодическим сигналом.
Реакция линейной и нелинейной систем будет различной. В первом случае постепенно установятся регулярные периодические колебания с той же частотой, что и частота вынуждающего сигнала. На фазовой плоскости такому движению соответствует замкнутая кривая, называемая аттрактором от английского глагола to attract - притягивать , - множество траекторий, характеризующих установившийся процесс. В случае нелинейного маятника могут возникнуть сложные, непериодические колебания, когда траектория на фазовой плоскости не замкнется за сколь угодно долгое время.
При этом поведение детерминирован ной системы будет внешне напоминать совершенно случайный процесс - это и есть явление динамического, или детерминированного, хаоса. Образ хаоса в фазовом пространстве - хаотический аттрактор - имеет очень сложную структуру: это фрактал. В силу необычности свойств его называют также странным аттрактором. Почему же система, развивающаяся по вполне определенным законам, ведет себя хаотически?
Влияние посторонних источников шума, а также квантовая вероятность в данном случае ни при чем. Хаос порождается собственной динамикой нелинейной системы - ее свойством экспоненциально быстро разводить сколь угодно близкие траектории. В результате форма траекторий очень сильно зависит от начальных условий. Поясним, что это значит, на примере нелинейного колебательного контура, находящегося под воздействием внешнего периодического сигнала.
Внесем в нашу систему небольшое возмущение - изменим немного начальный заряд конденсатора. Тогда колебания в возмущенном и невозмущенном контурах, первоначально практически синхронные, очень скоро станут совершенно разными. Поскольку в реальном физическом эксперименте задать начальные условия можно лишь с конечной точностью, предсказать поведение хаотических систем на длительное время невозможно. Предсказание будущего - Из-за такой малости!
Из-за бабочки! Она упала на пол - изящное маленькое создание, способное нарушить равновесие, повалились маленькие костяшки домино... И грянул гром Насколько упорядочена наша жизнь? Предопределены ли в ней те или иные события?
Что предсказуемо на многие годы вперед, а что не подлежит сколько-нибудь надежному прогнозированию даже на небольшие интервалы времени? Человеку постоянно приходится сталкиваться как с упорядоченными, так и с неупорядоченными процессами, порождаемыми различными динамическими системами. Мы знаем, что Солнце встает и заходит каждые 24 часа, и так будет продолжаться в течение всей нашей жизни. Вслед за зимой всегда наступает весна, и вряд ли когда-нибудь будет наоборот.
Более или менее регулярно функционируют коммунальные службы, снабжающие нас светом и теплом, учреждения и магазины, а также транспортные системы автобусы, троллейбусы, метро, самолеты, поезда. Нарушения ритмичной работы этих систем вызывают законное возмущение и негодование граждан. Если сбои возникают неоднократно - говорят о хаосе, выражая отрицательное отношение к подобным явлениям. Но в то же время существуют процессы, хорошо известные своей непредсказуемость ю.
Например, подбрасывая монету, мы никогда точно не знаем, что выпадет - "орел" или "решка". Такая непредсказуемость не вызывает тревоги. К гораздо более драматичным последствиям она может привести при игре в рулетку, однако любители испытывать судьбу сознательно идут на этот риск. Почему одни процессы предсказуемы по своим результатам, а другие нет?
Может быть, нам просто не хватает каких-то начальных данных для хорошего прогноза? Надо улучшить знания о начальных условиях - и все будет в порядке, и с монетой и с предсказанием погоды. Сказал же Лаплас: дайте мне начальные условия для всей Вселенной, и я вычислю ее будущее. Лаплас ошибался: ему и его современникам не были известны примеры детерминированных динамических систем, прогноз поведения которых на длительное время нельзя осуществить.
Лишь в конце XIX столетия французский математик Анри Пуанкаре впервые почувствовал, что такое возможно. Однако прошло еще три четверти века, прежде чем началась эпоха бурного изучения детерминированного хаоса. Динамические системы можно условно разделить на два типа. У первых траектории движения устойчивы и не могут быть значительно изменены малыми возмущениями.
Такие системы предсказуемы - именно потому мы знаем, что Солнце взойдет завтра, через год и через сто лет. Для определения будущего в этом случае достаточно знать уравнения движения и задать начальные условия. Небольшие изменения в значениях последних приведут лишь к несущественной ошибке в прогнозе. К другому типу относятся динамические системы, поведение которых неустойчиво, так что любые сколь угодно малые возмущения быстро в масштабе времени, характерном для этой системы приводят к кардинальному изменению траектории.
Как отметил Пуанкаре в своей работе "Наука и метод" 1908 , в неустойчивых системах "совершен но ничтожная причина, ускользающая от нас по своей малости, вызывает значительное действие, которое мы не можем предусмотреть. Предсказание становится невозможным, мы имеем перед собой явление случайное". Таким образом прогнозирование на длительные времена теряет всякий смысл. Пример с нелинейным колебательным контуром, рассмотренный выше, показывает, что хаотическое поведение с непредсказуемым будущим может иметь место даже в очень простых системах.
Реконструкция прошлого Итак, прогноз будущего не всегда возможен. А как обстоит дело с прошлым? Всегда ли можно реконструировать "предсказать", однозначно истолковать прошлое? Казалось бы, здесь проблем быть не должно.
Раз траектории удаляются одна от другой при движении вперед, они должны сближаться при движении назад. Так оно и есть. Однако направлений, по которым может происходить схождение или расхождение траекторий в фазовом пространстве, не одно, а несколько. При движении как вперед, так и назад траектории могут сближаться по одной части направлений, но расходиться по другой.
Прошлое "не предсказывается"? Бред какой-то! Ведь что-то уже произошло. Все известно...
Но давайте подумаем. Если бы с реконструкцией прошлого все было так просто, как тогда могло случиться, что для одних Николай II по-прежнему кровавый, а для других святой? И кто все-таки Сталин: гений или злодей? Отвлечемся пока от проблемы, насколько вольны они были принимать те или иные решения, насколько эти решения предопределялись обстоятельствами и каковы могли быть последствия альтернативных решений.
Зададим произвольную ломаную с конечным числом звеньев, называемую генератором. Далее заменим в ней каждый отрезок генератором точнее, ломаной, подобной генератору. В получившейся ломаной вновь заменим каждый отрезок генератором. Продолжая до бесконечности, в пределе получим фрактальную кривую.
На рисунке справа приведены первый, второй и четвёртый шаги этой процедуры для кривой Коха.
Методы электронной микроскопии и эволюционной биохимии указывают, что этот фрактал может быть эволюционной случайностью. Подпишитесь , чтобы быть в курсе. Снежинки, листья папоротника, капуста романеско имеют общее свойство самоподобия: крупные элементы состоят из более мелких, но такой же структуры, и так далее. И все же в естественной природе истинные фракталы встречаются редко. Цифровой прорыв: как искусственный интеллект меняет медийную рекламу Молекулы также обладают определенной регулярностью, но с большого расстояния этого не заметно. Если не вглядываться, структура всей молекулы не похожа на структуру ее составных частей. В этом состоит их отличие от фракталов.
9 Удивительных фракталов, найденных в природе
| Фрактал — Википедия | нечто невероятное – Самые лучшие и интересные новости по теме: Геометрия, идеально, красота на развлекательном портале |
| Фракталы в природе (102 фото) | Международная группа ученых обнаружила впервые нашла в природе молекулу, обладающую свойствами регулярного фрактала. |
| Прибыльная торговля с помощью фрактальности существует? | Фракталы представляют собой довольно сложные для определения математические объекты, но в общих чертах их можно охарактеризовать как геометрические формы, состоящие из меньших структур, которые, в свою очередь, напоминают исходную целостную конфигурацию. |
| Фрактал — Википедия | Фрактальную природу имеют многие структуры в природе, они нашли применение в науке и технике. |
ГЕОМЕТРИЯ ПРИРОДЫ. ФРАКТАЛЫ.
Они определенно напоминают изображения космических объектов — туманностей, скопления галактик и так далее. Поэтому вполне закономерно, что, когда Мандельброт озвучил свою теорию фракталов, его исследования вызвали повышенный интерес у тех, кто занимался изучением астрономии. Один из таких любителей по имени Натан Коэн Nathan Cohen после посещения лекции Бенуа Мандельброта в Будапеште загорелся идеей практического применения полученных знаний. Правда, сделал он это интуитивно, и не последнюю роль в его открытии сыграл случай. Будучи радиолюбителем, Натан стремился создать антенну, обладающую как можно более высокой чувствительностью. Единственный способ улучшить параметры антенны, который был известен на то время, заключался в увеличении ее геометрических размеров. Однако владелец жилья в центре Бостона, которое арендовал Натан, был категорически против установки больших устройств на крыше. Тогда Натан стал экспериментировать с различными формами антенн, стараясь получить максимальный результат при минимальных размерах. Загоревшись идеей фрактальных форм, Коэн, что называется, наобум сделал из проволоки один из самых известных фракталов — «снежинку Коха». Шведский математик Хельге фон Кох Helge von Koch придумал эту кривую еще в 1904 году. Она получается путем деления отрезка на три части и замещения среднего сегмента равносторонним треугольником без стороны, совпадающей с этим сегментом.
Определение немного сложное для восприятия, но на рисунке все ясно и просто. Существуют также другие разновидности «кривой Коха», но примерная форма кривой остается похожей Когда Натан подключил антенну к радиоприемному устройству, он был очень удивлен — чувствительность резко увеличилась. После серии экспериментов будущий профессор Бостонского университета понял, что антенна, сделанная по фрактальному рисунку, имеет высокий КПД и покрывает гораздо более широкий частотный диапазон по сравнению с классическими решениями. Кроме того, форма антенны в виде кривой фрактала позволяет существенно уменьшить геометрические размеры. Натан Коэн даже вывел теорему, доказывающую, что для создания широкополосной антенны достаточно придать ей форму самоподобной фрактальной кривой. Автор запатентовал свое открытие и основал фирму по разработке и проектированию фрактальных антенн Fractal Antenna Systems , справедливо полагая, что в будущем благодаря его открытию сотовые телефоны смогут избавиться от громоздких антенн и станут более компактными. В принципе, так и произошло. Правда, и по сей день Натан ведет судебную тяжбу с крупными корпорациями, которые незаконно используют его открытие для производства компактных устройств связи. Некоторые известные производители мобильных устройств, как, например, Motorola, уже пришли к мирному соглашению с изобретателем фрактальной антенны. Пятая глава книги «Фрактальная геометрия природы» посвящена, на первый взгляд, довольно простому вопросу: «Какова длина береговой линии Британии?
Этот вопрос Бенуа позаимствовал у знаменитого американского ученого Эдварда Каснера. Последний, как и многие другие известные математики, очень любил общаться с детьми, задавая им вопросы и получая неожиданные ответы. Иногда это приводило к удивительным последствиям. Так, например, девятилетний племянник Эдварда Каснера придумал хорошо всем известное теперь слово «гугол», обозначающее единицу со ста нулями. Но вернемся к фракталам. Американский математик любил задавать вопрос, какова длина береговой линии США. Выслушав мнение собеседника, Эдвард сам говорил правильный ответ. Если измерять длину по карте ломаными отрезками, то результат окажется неточным, ведь береговая линия имеет большое количество неровностей. А что будет, если измерять максимально точно? Придется учитывать длину каждой неровности — нужно будет измерять каждый мыс, каждую бухту, скалу, длину скалистого уступа, камня на ней, песчинки, атома и так далее.
Поскольку число неровностей стремится к бесконечности, измеренная длина береговой линии будет при измерении каждой новой неровности увеличиваться до бесконечности. Чем меньше мера при измерении, тем больше измеряемая длина Интересно, что, следуя подсказкам Эдварда, дети намного быстрее взрослых говорили правильное решение, в то время как у последних были проблемы с принятием такого невероятного ответа. На примере этой задачи Мандельброт предложил использовать новый подход к измерениям. Поскольку береговая линия близка к фрактальной кривой, значит, к ней можно применить характеризующий параметр — так называемую фрактальную размерность. Что такое обычная размерность — понятно любому. Если размерность равна единице, мы получаем прямую, если два — плоскую фигуру, три — объем. Однако такое понимание размерности в математике не срабатывает с фрактальными кривыми, где этот параметр имеет дробное значение. Фрактальную размерность в математике можно условно рассматривать как «неровность». Чем выше неровность кривой, тем больше ее фрактальная размерность. Кривая, обладающая, по Мандельброту, фрактальной размерностью выше ее топологической размерности, имеет аппроксимированную протяженность, которая не зависит от количества измерений.
В настоящее время ученые находят все больше и больше областей для применения теории фракталов. С помощью фракталов можно анализировать колебания котировок на бирже, исследовать всевозможные естественные процессы, как, например, колебание численности видов, или моделировать динамику потоков. Фрактальные алгоритмы могут быть использованы для сжатия данных, например для компрессии изображений. И кстати, чтобы получить на экране своего компьютера красивый фрактал, не обязательно иметь докторскую степень. В основе инструментария этого простого графического редактора лежит все тот же принцип самоподобия. В вашем распоряжении имеется всего две простейших формы — четырехугольник и круг. Вы можете добавлять их на холст, масштабировать чтобы масштабировать вдоль одной из осей, удерживайте клавишу Shift и вращать. Перекрываясь по принципу булевых операций сложения, эти простейшие элементы образуют новые, менее тривиальные формы. Далее эти новые формы можно добавлять в проект, а программа будет повторять генерирование этих изображений до бесконечности. На любом этапе работы над фракталом можно возвращаться к любой составляющей сложной формы и редактировать ее положение и геометрию.
Увлекательное занятие, особенно если учесть, что единственный инструмент, который вам нужен для творчества, — браузер.
И наоборот, если при наличии тех же материальных потоков и ресурсов коллектив ведет себя пассивно в информационном смысле, не создает идей или не проводит их в жизнь - иными словами, следует принципу "... Хаотические компьютеры Чего нам не хватает в современных компьютерах?
Если живой организм для существования в изменчивой среде должен обладать элементами хаотического поведения, то можно предположить, что и искусственные системы, способные адекватно взаимодей ствовать с меняющимся окружением, должны быть в той или иной степени хаотичными. Современные компьютеры таковыми не являются. Они представляют собой замкнутые системы с очень большим, но конечным числом состояний.
Возможно, в будущем на основе динамического хаоса создадут компьютеры нового типа - открытые с термодина мической точки зрения системы, способные адаптироваться к условиям внешней среды. Однако уже сегодня хаотические алгоритмы могут успешно применять ся в компьютер ных технологиях для хранения, поиска и защиты информации. При решении некоторых задач они оказываются более эффективными по сравнению с традиционными методами.
Это относится, в частности, к работе с мультимедийными данными. В отличие от текстов и программ мультимедийная информация требует иного способа организации памяти. Голубая мечта пользователей - возможность поиска мелодии, видеосюжета или нужных фотографий не по их атрибутам названию директории и файла, дате создания и т.
Оказывается, такой ассоциативный поиск можно осуществить с помощью технологий на основе детерминированного хаоса. Каким образом? Мы уже обсуждали генерацию информации хаотическими системами.
Теперь зададимся вопросом: а нельзя ли поставить в соответствие траектории конкретные данные, записанные в виде определенной последовательностей символов? Тогда часть траекторий системы находилась бы во взаимно однозначном соответствии с нашими информаци онными последовательностями. А поскольку каждая траектория - это решение уравнений движения системы при определенных начальных условиях, то и любую последователь ность символов можно было бы восстановить путем решения этих уравнений, задав в качестве начальных условий небольшой ее фрагмент.
Таким образом появилась бы возможность ассоциативного поиска информации, то есть поиска по содержанию. Коллективом сотрудников нашего института были созданы математические модели записи, хранения и поиска информации с помощью траекторий динамических систем с хаосом. Хотя алгоритмы казались очень простыми, их потенциальная информационная емкость значительно превысила объем всей информации, имеющейся в Интернете.
Развитие идеи привело к созданию технологии, позволяющей обрабатывать любые типы данных: изображения, текст, цифровую музыку, речь, сигналы и т. Пример использования технологии - программный комплекс "Незабудка", предназначен ный для работы с архивами неструктурированной информации как на персональных компьютерах, так и на информационных серверах. Вся информация в архиве записывается и хранится в виде траекторий хаотической системы.
Для поиска необходимых документов пользователь составляет запрос путем набора в произволь ной форме нескольких строк текста, относящегося к содержанию требуемого документа. В ответ система выдаст искомый документ, если входной информации достаточно для его однозначного поиска, либо предложит набор вариантов. При необходимости можно получить и факсимильную копию найденного документа.
Наличие ошибок в запросе не оказывает существенного влияния на качество поиска. Связь с помощью хаоса В большинстве современных систем связи в качестве носителя информации используются гармонические колебания. Информационный сигнал в передатчике модулирует эти колебания по амплитуде, частоте или фазе, а в приемнике информация выделяется с помощью обратной операции - демодуляции.
Наложение информации на носитель осуществляется либо за счет модуляции уже сформированных гармонических колебаний, либо путем управления параметрами генератора в процессе его работы. Аналогичным образом можно производить модуляцию хаотического сигнала. Однако возможности здесь значительно шире.
Гармонические сигналы имеют всего три управляемые характеристики амплитуда, фаза и частота. В случае хаотических колебаний даже небольшие вариации в значении параметра одного из элементов источника хаоса приводят к изменениям характера колебаний, которые могут быть надежно зафиксированы приборами. Это означает, что у источников хаоса с изменяемыми параметрами элементов потенциально имеется большой набор схем ввода информационного сигнала в хаотический носитель схем модуляции.
Кроме того, хаос принципиально обладает широким спектром частот, то есть относится к широкополосным сигналам, интерес к которым в радиотехнике традиционно связан с их большей информационной емкостью по сравнению с узкополосными колебаниями. Широкая полоса частот несущей позволяет увеличить скорость передачи информации, а также повысить устойчивость системы к возмущающим факторам. Широкополосные и сверхширокополосные системы связи, основанные на хаосе, имеют потенциальные преимущества перед традиционными системами с широким спектром по таким определяющим параметрам, как простота аппаратной реализации, энергетическая эффективность и скорость передачи информации.
Хаотические сигналы могут также служить для маскировки передаваемой по системе связи информации без использования расширения спектра, то есть при совпадении полосы частот информационного и передаваемого сигналов. Совокупность перечисленных факторов стимулировала активные исследования хаотических коммуникационных систем. В настоящее время уже предложено несколько подходов к расширению спектра информационных сигналов, построению простых по архитекту ре передатчиков и приемников.
Одна из последних идей в этом направлении - так называемые прямохаотические схемы связи. В прямохаотической схеме связи информация вводится в хаотический сигнал, генерируемый непосредственно в радио- или СВЧ-диапазоне длин волн. Информацию вводят либо путем модуляции параметров передатчика, либо за счет ее наложения на хаотический носитель уже после его генерации.
Соответственно, извлечение информационного сигнала из хаотического также осуществляют в области высоких или сверхвысоких частот. Оценки показывают, что широкополосные и сверхширокополосные прямохаотические системы связи способны обеспечить скорости передачи информации от десятков мегабит в секунду до нескольких гигабит в секунду. Хаос и компьютерные сети В коммуникационных схемах хаос может использоваться как носитель информации, как динамический процесс, обеспечивающий преобразование информации к новому виду, и, наконец, как комбинация того и другого.
Устройство, преобразующее с помощью хаоса сигнал в передатчике из одного вида в другой, называется хаотическим кодером. С его помощью можно изменять информацию таким образом, что она окажется недоступной стороннему наблюдателю, но в то же время будет легко возвращена к исходному виду специальной динамической системой - хаотическим декодером , находящимся на приемной стороне коммуникационной системы. В каких процессах может использоваться хаотическое кодирование?
Во-первых, с его помощью можно принципиально по-новому организовать общее информационное пространство, создавая в нем большие открытые группы пользователей - подпространства. В рамках каждой группы вводится свой "язык" общения - единые для всех участников правила, протоколы и другие признаки данной "информационной субкультуры". Для желающих освоить этот "язык" и стать членом сообщества имеются относительно простые средства доступа.
В то же время для сторонних наблюдателей участие в подобном обмене будет затруднено. Таким образом, хаотическое кодирование может служить средством структуризации "народонаселения" общего информационного пространства. Во-вторых, подобным же образом можно организовать многопользовательский доступ к информации.
Наличие глобальной сети Интернет и магистральных информационных потоков Highways предполагает существование общих протоколов, обеспечивающих прохождение информации по единым каналам. Однако в рамках определенных групп участников например, в рамках корпоративных сетей существует острая необходимость доставки информации конкретным потребителям, без разрешения доступа "чужим" участникам. Методы хаотического кодирования являются удобным средством организации таких виртуальных корпоративных сетей.
Кроме того, они могут использоваться и непосредственно для обеспечения определенного уровня конфиденциальности информации, переходя в область традиционной криптографии. Наконец, еще одна функция хаотического кодирования очень актуальна в связи с развитием электронной коммерции и обострением проблемы авторских прав в Интернете. В особенности это касается продажи через сеть мультимедийных товаров музыки, видео, цифровой фотографии и др.
На основе детерминированного хаоса можно обеспечить такой способ защиты авторских прав и прав на интеллектуальную собственность, как снижение качества информационного продукта при общем доступе. Например, музыкальные треки, закодированные с помощью хаоса, будут распространяться в сети без каких-либо ограничений, так что каждый пользователь сможет воспользоваться ими. Однако при прослушивании без специального декодера качество звука будет низким.
В чем смысл такого подхода? Распространяемая информация остается открытой и не подпадает под ограничения, накладываемые применением криптографических методов защиты. Кроме того, потенциальный покупатель имеет возможность ознакомиться с продуктом, а уже потом решить, стоит ли приобретать его высококачественную версию.
Следует отметить, что вышеперечисленные функции хаотического кодирования далеко не исчерпывают потенциальные возможности его применения в современных информационных технологиях. В ходе дальнейшего изучения и развития этой проблематики, по всей видимости, могут открыться новые грани и перспективные области использования. Таким образом, использование динамического хаоса и фракталов в информационных технологиях не экзотика, как могло показаться еще несколько лет назад, а естествен ный путь для разработки новых подходов к созданию систем, эффективно работающих в изменчивой окружающей среде.
Читайте в любое время Другие статьи из рубрики «Информационные технологии» Детальное описание иллюстрации Деревья, как и многие другие объекты в природе, имеют фрактальное строение. Слева - фотография ели. Справа - искусственная фрактальная структура, генерируемая итерационными уравнениями.
По внешнему виду она очень напоминает живое дерево. Отчетливо видна структура ветвей, повторяющаяся во все более и более мелких масштабах. Траектории сходятся к одной точке, отвечающей положению равновесия - полной остановке маятника.
Когда две материальные точки отражаются от шариков, их траектории, первоначально близкие, быстро расходятся слева.
Если вы посмотрите на сложное дерево, то заметите повторение Y-образной формы на всем его протяжении. Такой фрактальный дизайн, подобно спирали суккулентов, помогает деревьям оптимизировать воздействие солнечного света и не позволяет верхним ветвям затенять нижние. Это явление мастерски продемонстрировано на примере кристаллов меди, которые разветвляются во всех направлениях, как ветви дерева.
Каждая «веточка» является новой точкой роста — по мере разветвления она превращается в твердую металлическую медь. Из-за своей древовидной природы и уникального красновато-коричневого цвета кристаллы меди часто выращивают для искусства. Хотя иногда ручьи могут быть расположены по прямой линии, они быстро становятся извилистыми, поскольку приспосабливаются к помехам, таким как норы диких животных. Всего одна помеха может изменить течение реки и заставить ее изгибаться на всем протяжении.
Ширина этих ручьев также чрезвычайно шаблонна. Кривые, как установили эксперты, всегда в шесть раз больше ширины русла. Такое самоподобие характерно для фракталов и является причиной того, что реки во всем мире выглядят одинаково.
Эти абстрактные пятна известны, потому что люди видят в них воображаемые формы фигуры и животных. Я объяснил этот процесс с точки зрения эффекта фрактальной беглости, который улучшает процессы распознавания образов людей. Фрактальные чернильные шарики низкой сложности сделали этот процесс счастливым, заставляя наблюдателей видеть изображения, которых там нет. Поллоку не понравилась идея, что зрители его картин были отвлечены такими воображаемыми фигурами, которые он назвал «дополнительным грузом». Он интуитивно увеличил сложность своих работ, чтобы предотвратить это явление. Коллега по абстрактному экспрессионизму Поллока Виллем де Кунинг также рисовала фракталы.
Когда ему поставили диагноз слабоумие, некоторые искусствоведы призывали уйти в отставку на фоне опасений, что это уменьшит воспитательную составляющую его работы. Все же, хотя они предсказывали ухудшение его картин, его более поздние работы передали спокойствие, отсутствующее в его более ранних частях. Недавно было показано, что сложность фрактала его картин неуклонно снижается, когда он впадает в слабоумие. Исследование было сосредоточено на семи художниках с различными неврологическими состояниями и выявило потенциал использования произведений искусства в качестве нового инструмента для изучения этих заболеваний. Для меня самое вдохновляющее сообщение заключается в том, что, борясь с этими болезнями, художники все еще могут создавать прекрасные произведения искусства. Признание того, как взгляд на фракталы уменьшает стресс, означает, что можно создавать имплантаты сетчатки, имитирующие механизм. Изображение Nautilus через www. На первый взгляд эта цель кажется далекой от искусства Поллока. Тем не менее, именно его работа дала мне первый ключ к беглости фракталов и той роли, которую фракталы природы могут сыграть в контроле уровня стресса людей.
Чтобы мои био-вдохновленные имплантаты вызывали такое же снижение стресса при взгляде на фракталы природы, как нормальные глаза, они близко имитируют дизайн сетчатки. Когда я начинал свое исследование Поллока, я никогда не думал, что это послужит основой для создания искусственных глаз.
Физики нашли фракталы в лазерах
К сожалению, качество демонстрационного видео крайне плохое из-за давности лет , но демо можно скачать и запустить на компьютере. Для создания подобных или других фрактальных миров особых ухищрений не требуется. Есть несколько отличных программ, с помощью которых вы сможете самостоятельно изучать особенности фрактальной вселенной. XaoS Open Source Project. Бесплатный, открытый, кроссплатформенный инструмент для масштабирования и изучения множества Мандельброта и десятков других фракталов. Еще одна кроссплатформенная в том числе с мобильной версией программа, основанная на Java с открытым исходным кодом, для обработки изображений. Она известна в основном своим сложным генератором пламенных фракталов.
Рисунок 5. Процесс построения Треугольника Серпинского Повторяют эту же процедуру для трех образовавшихся треугольников за исключением центрального , и так до бесконечности. Если теперь взять любой из образовавшихся треугольников и увеличить его, то получится точная копия целого. Это и есть полное самоподобие. Кривая дракона И зобретена итальянским математиком Джузеппе Пеано. Ее построение начинается с нулевого порядка, которая представляет собой прямой угол. Изображение фигуры каждого следующего порядка строится путем постоянных замен каждого из отрезков фигуры младшего порядка на два отрезка, сложенных также в виде прямого угла. При этом каждый первый угол оказывается вывернутым наружу, а каждый второй - вовнутрь. На рисунке проиллюстрирован алгоритм построения драконовой ломаной и изображен вполне взрослый дракон десятого порядка. Здесь можно заметить, что два равных звена продолжают друг друга. Рисунок 7. Кривая Минковского. Описано в 1883 году Г. Рисунок 8. Множество Кантора. Оставшееся точечное множество обозначим через C1, оно состоит из двух отрезков; удалим теперь из каждого отрезка его среднюю треть и оставшееся множество обозначим через C2. Повторив эту процедуру опять, удаляя средние трети у всех четырёх отрезков, получаем C3. Обозначим через C пересечение всех Ci. Множество C называется Канторовым множеством. Сверху - классическое дерево Пифагора, снизу - обнаженное обдуваемое ветром дерево Пифагора. Рисунок 9. Дерево Пифагора. Также известен как квадрат Серпинского. Квадрат Q0 делится прямыми, параллельными его сторонам, на 9 равных квадратов. Из квадрата Q0 удаляется центральный квадрат. Рисунок 10. Ковер Серпинского. Получается множество, состоящее из 8 оставшихся квадратов «первого ранга». Поступая точно также с каждым из квадратов первого ранга, получим множество Q1, состоящее из 64 квадратов второго ранга. Продолжая этот процесс бесконечно, получим бесконечную последовательность пересечение членов которой есть ковёр Серпинского. Куб K0 с ребром 1 делится плоскостями, параллельными его граням, на 27 равных кубов. Из куба K0 удаляются центральный куб и все прилежащие к нему по двумерным граням кубы этого подразделения. Получается множество K1, состоящее из 20 оставшихся замкнутых кубов «первого ранга». Поступая точно так же с каждым из кубов первого ранга, получим множество K2, состоящее из 400 кубов второго ранга. Продолжая этот процесс бесконечно, получим бесконечную последовательность, пересечение членов которой есть губка Менгера. Рисунок 11. Губка Менгера.
Это свойство называется самоподобием — оно ключевое для всех фракталов. Из аналогии с береговой линией мы можем получить интуитивное понимание нецелой размерности — ее можно описать как «степень изрезанности кривой». Губка Менгера. Иллюстрация: Niabot, www. Наиболее общее, предложенное Мандельбротом, гласит, что фракталом называют структуру, состоящую из частей, которые в каком-то смысле подобны целому. При этом фрактал не обязательно должен быть кривой, как в предыдущих примерах, — это может быть как плоская, так и объемная фигура. Например, фракталами являются ковер Серпинского или губка Менгера. Само слово фрактал Мандельброт придумал на основе латинского fractus, означающего «сломанный» и созвучного английскому fraction — «дробь». Это слово одновременно отображает как необычность, извилистость фракталов, так и их свойства, связанные с их дробной размерностью. Одинокий ученый Развитие теории фракталов тесно связано с ее основателем, Бенуа Мандельбротом — в одиночку он долгое время отстаивал и доказывал свою идею всему научному сообществу. Поэтому история открытия фракталов — в значительной степени биография Бенуа Мандельброта, хотя частные случаи фракталов множества Жюлиа, снежинка Коха и функция Вейерштрасса были известны и раньше. Но только Мандельброт увидел что-то общее в этих примерах и дал им описание. Бенуа Мандельброт. Фото: Yale University, www. В начале 60-х годов Мандельброт занимался экономикой, изучал динамику цен на хлопок. В то время почти все экономисты считали, что в долгосрочной перспективе цены зависят от внешних факторов, а в краткосрочной колеблются случайным образом. Однако Мандельброт сумел разглядеть в динамике цен закономерность — она практически не зависела от масштаба! Говоря другими словами, изменения цен за год и за месяц на графиках выглядели как две практически одинаковые кривые, несмотря на прошедшие за рассматриваемый период две мировые войны. Множество Жюлиа, www. В то же время научным сообществом его исследования воспринимались как нечто недостойное внимания. Отчасти это происходило из-за недостаточной на тот момент формальности теории, отчасти — из-за ее разрозненности. Большинство ученых просто не понимали, как и для чего можно применять эту теорию. Однако это не помешало ее дальнейшему развитию. Функция Вейерштрасса. Иллюстрация: Eeyore22, www.
Стоки реки «Из далека долго течет река Волга». На географической карте это такая голубая извилистая линия. Ну, притоки крупные обозначены. Ока, Кама. А если мы уменьшим масштаб? Выяснится, что притоков этих намного больше. Не только у самой Волги, но и у Оки и Камы. А у них есть и свои притоки, только более мелкие. А у тех — свои. Возникает структура, удивительно похожая на кровеносную систему человека. И опять возникает вопрос. Какова протяженность всей этой водной системы? Если измерять протяженность только основного русла — все понятно. В любом учебнике можно прочитать. А если все измерять? Опять в пределе бесконечность получается. Наша Вселенная Конечно, в масштабах миллиардов световых лет, она, Вселенная, устроена однородно. Но давайте посмотрим на нее поближе. И тогда мы увидим, что никакой однородности в ней нет. Где-то расположены галактики звездные скопления , где-то — пустота. Почему распределение материи подчиняется иррегулярным иерархическим законам. А что происходит внутри галактик еще одно уменьшение масштаба. Где-то звезд больше, где-то меньше. Где-то существуют планетные системы, как в нашей Солнечной, а где-то — нет. Не проявляется ли здесь фрактальная сущность мира? Сейчас, конечно, существует огромный разрыв между общей теорией относительности, которая объясняет возникновение нашей Вселенной и ее устройством, и фрактальной математикой. Но кто знает? Возможно, это все когда-то будет приведено к «общему знаменателю», и мы посмотрим на окружающий нас космос совсем другими глазами. К практическим делам Подобных примеров можно приводить много. Но давайте вернемся к более прозаическим вещам. Вот, например, экономика. Казалось бы, причем здесь фракталы. Оказывается, очень даже причем. Пример тому — фондовые рынки. Практика показывает, что экономические процессы носят зачастую хаотичный, непредсказуемый характер. Существовавшие до сегодняшнего дня математические модели, которые пытались эти процессы описывать, не учитывали одного очень важного фактора — способность рынка к самоорганизации. Вот тут на помощь и приходит теория фракталов, которые имеют свойства «самоорганизации», воспроизводя себя на уровне разных масштабов. Конечно, фрактал является чисто математическим объектом. И в природе, да и в экономике, их не существует. Но есть понятие фрактальных явлений. Они являются фракталами только в статистическом смысле. Тем не менее симбиоз фрактальной математики и статистики позволяет получить достаточно точные и адекватные прогнозы. Особенно эффективным этот подход оказывается при анализе фондовых рынков. И это не «придумки» математиков.
Фракталы в природе: красота бесконечности вокруг нас
Фрактальная геометрия природы. Фрактальные модели в природе и технике Текст научной статьи по специальности «Математика». Деревья – один из самых квинтэссенциальных фракталов в природе.